Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

152 Fragen der Flächentheorie im Gro/ßen.
auf der Einheitskugel umschlossene Fläche 2Q. Nach dem isoperimetrischen Satze für Kurven auf der Kugel (~ 31, Aufgabe 6) gilt
demnach für den Umfang A des sphärischen Bildes unsres Einecks
A 0 > 4 -2 _ (2 n - g2) > 3 z 2.
Es seien nun ds und da entsprechende Bogenelemente auf der Eifläche: und ihrem sphärischen Bilde und e das Minimum von (ds: da)
auf i. Nebenbei ist 9 der kleinste Hauptkrümmungshalbmesser von 5.
Dann haben wir für den Umfang 2 T unsres Einecks
2 T> A > V3 e.
Ist nun 2 R die kleinere der beiden Zahlen n B und / 3 n e, so
wissen wir, daß jeder geodätische Mittelpunktskreis {a, 2 R} auf 3
von seinen Radien schlicht bedeckt wird.
Liegt nun b innerhalb oder auf dem Rande des Kreises {a, 2R},
so gibt der Teilbogen r des "geodätischen Radius" dieses Kreises,
der von a nach b führt, den kürzesten Weg zwischen diesen Punkten.
Führt man nämlich geodätische Polarkoordinaten (~ 57) mit a als
Ursprung auf 2 ein, so ist wegen G > 0 in leicht verständlicher Bezeichnungsweise
(73) fds= f Vdr'+ Gdp,> f dr >r.
a a X
Das gilt für alle Kurven, die den Kreis {a, 2R} nirgends verlassen. Tritt
hingegen eine a, b verbindende Kurve aus diesem Kreise bei c heraus,
so ist nach dem eben bewiesenen schon ihr Teilbogen von a bis c
sicher > 2R > r.
Man kann das Ergebnis auch so fassen: Gibt es zwischen zwei
Punkten a, b von; einen Weg von der Länge S ~ 2R, dann gibt es
immer auch eine kürzeste Verbindung, nämilich auf einem geodätischen
Radius des Kreises {a, 2R}.
Die Länge dieses kürzesten Weges wollen wir die geodätische
Entfernung von a und b nennen und mit [ab] = [5 a] bezeichnen.
Davon kann also zunächst nur
~\ ac dann die Rede sein, wenn es
zwischen a und 6 einen Weg
1bS _ 2' gibt.
a\. ( ^ So bleibt nun der Fall zu behandeln, daß 5 außerhalb des
\Xan / CL2/ Kreises {a, 2R} liegt.
Un^ / w~ ~ Wir verbinden zunächst a und
n-1 J ^ b auf 5 durch einen Weg ( von
Figur 28. endlicher Länge S. Dieser Kurve
( soll in folgender Weise eine,geodätische Gelenkkette von der Gliedlänge R" einbeschrieben werden.
(Vgl. Fig. 28). Wir verbinden a radial mit dem ersten Austrittspunkt ac