Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~85. Das Vorhandensein kürzester Wege auf Eiflächen. 151
genau entsprechend, wie wir vorhin S nach oben hin abgeschätzt
haben.
Ziehen wir daher von einem Punkte a auf ~ aus in allen Richtungen geodätische Bogen von der Länge a B, so überdecken diese
den geodätischen Entfernungskreis {a, 7 B}. Dreht man nämlich
diesen "geodätischen Radius" so um seinen Anfangspunkt a, daß der
Anfangswinkel (p mit einer festen Richtung in der Tangentenebene
von a stetig wachsend die Werte von 0 < 2 durchläuft, so
hat nach Voraussetzung die Differentialgleichung Jacobis
d2 6 nÖ
dra + Kön 0,
worin (vgl. ~ 57)
On -= /G. dg, (dt-r.n dcp
die Entfernung zum unendlich benachbarten Radius angibt, eine positive Lösung (ön > 0 für 0 < r < -B). Deshalb bewegt sich dieser
Radius stets nach derselben Seite vorwärts. Da er schließlich (p- = 2 n)
in die Ausgangslage (qp = 0) zurückkehrt, ist man versucht zu schließen,
daß die geodätischen Radien durch a mit der Länge zßB; die Kreisfläche {a, nB},schlich't" überdecken, d. h. daß durch jeden inneren
Punkt (= a) der Fläche ein einziger dieser Radien hindurchgeht.
Von der Unzulässigkeit dieser Schlußweise kann man sich am besten
an einer dünnen und langen Ringfläche überzeugen, wo ein derartiger
Kreis ähnlich wie das Deckblatt einer Zigarre um den Ring herumgeschlungen ist.
Es handelt sich für das folgende darum, sich einen geodätischen
Radius 2 R > 0 so zu verschaffen, daß alle Kreise {a, 2 R} auf unsrer
Eifläche ~ schlicht ausfallen bei beliebiger Wahl des Mittelpunkts a.
Das kann man etwa so erreichen. Angenommen, der Kreis {a, rB}
sei nicht schlicht. Dann verkleinern wir bei festem Mittelpunkt a den
geodätischen Halbmesser solange, bis der Kreis aufhört sich selbst
zu überdecken. Der erste solche Kreis habe den geodätischen Radius T.
Er wird sich selbst in einem Umfangspunkt p berühren und seine
beiden. Radien durch p werden zusammen ein geodätisches Eineck
mit der Ecke a bilden, denn in p schließen sie glatt aneinander, da
beide den Umfang senkrecht durchschneiden. Auf dieses Eineck
wenden wir die Formel von Gauß-Btonnet (~ 63, 64) an und finden
cw+ K.do = 2n,
wenn co den Außenwinkel bei a bedeutet. Wenn wir eine geeignete
unter den beiden von unserm Eineck begrenzten Flächen auswählen
so wird 0 < co < n und daher
< K do < 2
sein. Das Integral ist die vom sphärischen Abbild unsres Einecks