Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 84. Satz von Bonnet über den Durchmesser einer Eifläche. 149
Dabei ist unter "Durchmesser" die Größtentfernung zweier Flächenpunkte zu verstehen. Zum Beweise greifen wir auf der Eifläche irgend
zwei Punkte a, b heraus und nehmen als bekannt an, daß es einen
allerkürzesten Weg auf der Fläche zwischen a und b gäbe, und daß
dieser einer geodätischen Linie angehöre. Dann liegt (~ 83) sicher
der zu a konjugierte Punkt a' nicht diesseits b (a' > b). Die räumliche Entfernung von a nach b ist jedenfalls < als die geodätische
Entfernung zwischen a und a'. Dann braucht man also nur mehr
zu zeigen:
Aus K > (1: A2) folgt, daß die geodätische Entfernung S zweier
konjugierter Punkte einer geodätischen Linie ~< zA ist.
Das läßt sich folgendermaßen einsehen. Hat man zwei Differentialgleichungen
v" + K(s)v = 0,
w" +L(s)w = 0,
wobei
K(s) L (s)
ist, so liegen nach einem Satz von J. C. F. Sturmn,'9) (1836) die Nullstellen von v(s), kurz gesagt, dichter als die von w(s). D. h. bei
wachsendem Krümmzungsmaß rücken die konjugierten Punkte dichter
zusammen. Hat man also zwei Lösungen v, w mit einer gemeinsamen
Nullstelle sl, so kann die nächste Nullstelle s, von w nicht vor der
nächsten Nullstelle von v liegen. Wir hätten nämlich sonst
S2
(69) v(w`" + Lw)- w (v" + Kv)}ds 0
Sl
oder durch Integration nach Teilen
s2
[vw' - wvÜJh -= vw (K - L) ds.
S$
Wegen der Randbedingungen (v(sl) (s1) w (s) -- 0) gibt das
s.2
(70) v(si) w'(s,) f vw (K - L)ds.
S1
Wäre nun v > O in sl <s < s und w > 0 in s < s s so hätten
wir w'(s.) < 0, da w von positiven zu negativen Werten übergeht.
Also wäre die linke Seite von (70) sicher kleiner als Null, während
die rechte Seite > 0 ist, was einen Widerspruch ergibt. Ähnlich erledigen sich die übrigen Fälle.
Setzen wir insbesondere L -: A2 - konst., so wird
(71) w:a cos () + b sin ()
29) J. C. F. Sturm, Memoire sur les equations differentielles du second ordre.
Journal Liouville 1 (1836), S. 131.