Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

148 Fragen der Flächentheorie im Großien.
Noch eine Bemerkung! Aus dem vorigen ergibt sich, daß man
für a'<b stets in beliebiger Nähe von v 0 eine Verbindung zwischen a und b mit einem Knick herstellen kann, für die 62S < 0
wird. Dann kann man aber immer die Ecke so abrunden, daß sich
der Integralwert b2S so wenig ändert, daß auch für die abgerundete
Kurve v(s) noch 6 S < 0 ausfällt.
Dieser von Bliss stammende Beweis für die Notwendigkeit von
Jacobis Bedingung läßt sich ganz entsprechend für allgemeinere
Variationsprobleme durchführen. Die ersten Beweise für die Notwendigkeit der Bedingung Jacobis gehen auf K. Weiers'raß, G. Erdmann und H. A. Schwarz zurück. Sie benutzen ebenfalls die zweite
Variation26). Jacobi hat seine Bedingung 1836 gefunden27).
Es gibt noch ein von G. Darboux28) stammendes, anschauliches
Verfahren, um die Notwendigkeit der Bedingung Jacobis einzusehen.
Nur versagt dieses Verfahren in gewissen Ausnahmefällen. Die ersten
zu einem Punkt a einer Fläche konjugierten Punkte erfüllen im allgemeinen eine Kurve, die die geodätischen Linien durch a einhüllt.
Es sei nun a, a' ein Paar konjugierter Punkte. Die Einhüllende habe
in a' keine Spitze. Dann kann man in der Nähe von a' einen Punkt b'
der Einhüllenden so wählen, daß nach dem Hüllkurvensatz (~ 65)
zwischen den Bögen die Beziehung besteht (vgl. Fig. 23, S. 111)
aa' = b' + a'.
Nun gibt es zwischen den Punkten b', a' sicher noch einen kürzeren
Weg als die Einhüllende, da diese nicht geodätisch ist. Denn durch
jedes Linienelement geht nur eine geodätische Linie. Somit gibt es
von a nach a' im allgemeinen einen kürzeren Weg als den vorgegebenen geodätischen.
Diese Betrachtung versagt, wenn die Einhüllende in a' eine a,zugewandte" Spitze hat (vgl. Fig. 32, S. 159).
~ 84. Satz von Bonnet über den Durchmesser einer
Eifläche.
Nach den Vorbereitungen von ~ 82 und ~ 83 sind wir jetzt in
der Lage, den zu Beginn von ~ 82 angekündigten Satz Bonnets zu
beweisen, den man auch so fassen kann:
Wenn für das Krümmunngsmaß in allen Punkten einer Eifläche
die Beschränkung K > (1: A2) besteht, so gilt für ihren Darvhmesser
D < z-A.
26) Vgl. etwa O. Bolza, Vorlesungen über Variationsrechnung, Leipzig 1909,
S. 82-87. Ein einfacher Beweis für die Bedingung Jacobis im Fall der geodätischen Linien findet sich bei G. Darboux, Surfaces III (1894), S. 97.
27) C. G. J. Jacobi, Zur Theorie der Variationsrechnung, Werke IV. S. 39-55
28) G. Darboux, Surfaces III, S. 86-88.