Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

146 Fragen der FläheiCntheorie im Grofien.
bis auf einen konstanten Faktor bestimmte Lösung ön der ~Jacobischen Differentialgleichung" (63), die in a verschwindet. Die auf a
folgende Nullstelle dieser Lösung ön gibt den konjugierten Punkt a'.
Wir werden erwarten können: Liegt a' vor b, so ergibt unser geodätischer Bogen ab keinen kürzesten Weg zwischen seinen Endpunkten.
Zum Nachweis nehmen wir unsre geodätische Linie als Kurve
v = 0 eines rechtwinkligen Netzes von Parameterlinien, während wir
als Kurven u konst. die die Kurve v 0 senkrecht schneidenden
geodätischen Linien wählen. (Vgl. ~ 56). Dann bekommen wir das
Gaußische Bogenelement
ds =- A2du2 + dv2
mit
A (~Z, 0)=, A, (, 0)= 0.
Für die Bogenlänge der variierten Kurve
v == v (u) = Ev(u)
erhalten wir, wenn wir nach Potenzen von e entwickeln,
S(e) = fJVA + v'2 du
= V1 + v'2Avv(u, 0) + v'2 +... d
Sdu+ f {vAvv(u, 0) + v'} d +....
Setzen wir, wie üblich
S(E) = (0) + öS + 1- S +...,
so ergibt sich also neben dem selbstverständlichen 6S = 0 für die
~zweite Variation" der Bogenlänge der Ausdruck
(64),S = fs2Av + v' } du.
Nach ~ 58 (41) hat das Krümmungsmaß längs unserer geodätischen
Linie v= 0 den Wert
(65) K() - -Avv.
Schreiben wir statt u noch s (Bogenlänge auf v - 0), so haben wir
für die zweite Variation die endgültige Formel
(66) 6öS = S{v' - K(s)v2} ds 24).
Soll die Ausgangskurve v = 0 einen kürzesten Weg zwischen
ihren Endpunkten ergeben, so muß neben S'(O)= 0 noch die bekannte
Bedingung S"(0) _ 0 oder
2S 0 O
gelten für jedes v, das in den Randpunkten verschwindet. Falls das
Krümmungsmaß K durchweg < 0 ist, ist diese Bedingung sicher
erfüllt. Wir wollen im folgenden den entgegengesetzten Fall K > 0
24) Für v = konst. bekommt man hieraus die Formel ~ 74, Aufg. 1.