Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 82. Erdmanns Eckbedingung. ~ 83. Die Bedingung von Jacobi. 145
Die beiden Eckbedingungen
*f, fy *,
*(f Y' fY,) (f- y fY')*
hat G. Erdmann 187522) und etwa, y'
zur selben Zeit K. Weierstraß in
seinen Vorlesungen über Variationsrechnung angegeben. Die geo- y, Y
metrische Deutung der Eckbedin-
gung stammt von C. Caratheodory23).
Die beiden Richtungen *y' und y'*
an der Eichkurve des Knickpunkts xy y
müssen zu den Berührungspunkten
einer Doppeltangente hinzielen
(Fig. 26). Figur 26.
~ 83. Die Bedingung von Jacobi.
Wenn ein Großkreisbogen auf einer Kugel zu einem seiner Punkte
auch den diametral gegenüberliegenden innerhalb des Bogens enthält
so gibt dieser Großkreisbogen sicher nicht die kürzeste Verbindung
seiner Endpunkte. Es handelt sich darum, diese einfache Bemerkung
auf eine beliebige geodätische Linie einer beliebigen Fläche zu übertragen.
Wir nehmen auf dem zu untersuchenden geodätischen Bogen
den Anfangspunkt a zum Ursprung eines Systems geodätischer Polarkoordinaten (~ 57)
ds2 = dr2 + Gd9p2,
dann genügt, auf dem geodätischen Kreis r = konst. gemessen, die
Entfernung
ön IV/G dp
zur unendlich benachbarten geodätischen Linie durch a der Differentialgleichung (~ 58 (41)) oder
(63) - n O,
~(63) dr2 [-K(r).ön:O,
wo K(r) das Krümmungsmaß der Fläche auf unsrer geodätischen
Linie ist. Die Verallgemeinerung des zu a diametral gegenüberliegenden Punktes wird der zu a,konjugierte" Punkt a' auf unsrem
geodätischen Bogen genannt. Der ist so erklärt: man ermittelt die
2') G. Erdmann, Über unstetige Lösungen in der Variationsrechnung,
Crelles Journal 82 (1877), S. 21-30.
23) C. Carath6odory, Über die diskontinuierlichen Lösungen in der Variationsrechnung, Dissertation Göttingen 1904, vgl. den Schluß S. 71.
B las c h k e, Differentialgeometrie. 10