Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 81. Bemerkungen über geschlossene geodätische Linien auf einer Eifläche. 141
~ 81. Bemerkungen über geschlossene geodätische Linien
auf einer Eifläche nach /B. Poincare.
Ausgehend von astronomischen Fragestellungen über das "Dreikörperproblem" hat Poincare die geschlossenen geodätischen Linien
auf einer Eifläche untersucht16). Man kann sich leicht veranschaulichen, daß es auf jeder Eifläche mindestens eine solche geschlossene
geodätische Linie geben muß.
Wendet man nämlich zunächst auf eine derartige Linie die
Integralformel von Bonnet (~ 63 (97)) an, so ergibt sich
fKdo = 2,
d. h. das von unsrer Kurve umschlossene Flächenstück hat die Gesamtkrümmung 2 a. Bilden wir unsere Eiflächen etwa durch parallele
äußere Normale auf die Einheitskugel ab, so können wir feststellen:
Das sphärische Abbild einer geschlossenen geodätischen Linie hälftet
die Oberfläche der Einheitskugel.
Deshalb liegt es nahe, umgekehrt von allen auf unsrer Eifläche
liegenden geschlossenen Linien auszugehen, deren sphärisches Abbild
die Kugel hälftet, und unter diesen die kürzeste aufzusuchen. Es
wird behauptet, daß diese kürzeste eine geodätische Linie ist. Gehen
wir von einer geschlossenen Kurve auf unsrer Eifläche zu einer benachbarten über dadurch, daß wir senkrecht zur Kurve die Strecke ön
abtragen, so ändert sich der Umfang L nach der Formel ~ 54 (18)
ÖL =- f-ds.
Die Änderung der Gesamtkrümmung des umschlossenen Oberflächenteils der Eifläche ist (vgl. ~ 59 (49))
öQ-=- ~ K.ön ds.
Soll nun die Ausgangskurve bei gegebenem Q = 2 n den Kleinstwert
des Umfangs ergeben, so muß aus Q =- 0 folgen L = 0. Daraus
schließt man wie in ~ 25
1
(52) - = K, i konst.
Nun ist nach Bonnet
ds
ds-+ Q= 2,
also
ds
(53) f —==f Kds = 0.
Da aber auf der Eifläche das Krümmungsmaß K >0 ist, folgt - 0
und 1: =:g 0. D. h. unsre Kurve ist in der Tat geodätisch.
16) H. Poincard, Sur les lignes geodesiques des surfaces convexes, Americ.
Transactions 6 (1905), S. 237-274.