Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

138 Fragen der Flächentheorie im Großfen.
d. h. die Projektion unsrer geschlossenen Fläche auf eine Ebene hat
den Gesamtflächeninhalt Null. Setzt man für doh aus (44) den Wert
ein, so ergibt sich die Richtigkeit unsrer Behauptung:
J(R, + R)idc =0.
Von Konvergenzschwierigkeiten ist hier abgesehen worden. Sie
werden von vornherein vermieden, wenn wir die betrachteten Funktionen als regulär und analytisch auf der Fläche voraussetzen.
~ 80. Ein Satz von Hilbert über Flächen festen
negativen Krümmungsmaßes.
Ähnlich, wie wir in ~ 75 Formeln für Flächen mit K= 1 abgeleitet haben, wollen wir jetzt Formeln für K -- 1 berechnen.
Wir setzen, indem wir wieder die Krümmungslinien als Parameterlinien wählen,
R, = tga, R,= - ctg.
Dann zeigen wir genau so, wie in ~ 75 (8), daß man setzen kann:
/E = sin o, I/G = cos a
und daraus nach ~ 75 (2)
L = -- sin a cos a, N = - sin o cos a.
Die Differentialgleichung der Asymptotenlinien hat somit die Form
(45) (due + dv)(du - dv)= O.
Führen wir also durch die Formeln
u==- q, vv=-+q
neue Parameter p, q ein, so sind die neuen Parameterlinien p, q = konst.
oder u + v konst. die Asymptotenlinien der Fläche. Das Bogenelement hat die Form
(46) ds2 = du2 sin2 a -+ dv2 cos2 a - dp2 + 2 dp dq cos 2 a + dq2.
Hieraus ergibt sich nebenbei, daß bei einem Viereck aus Asymptotenlinien die Gegenseiten gleich lang sind. Solche Kurvennetze (mit
E G = 1) auf beliebigen Flächen hat der russische Mathematiker
P. L. Tschebyschef 1878 untersucht13). Spannt man ein Fischnetz
über eine krumme Fläche, so bildet es eine solche Figur.
Wendet man auf das Bogenelement in p, q die Formel von
Gauß (~ 49) an, so findet man für den Winkel 2 = co der Asymptotenlinien die Differentialgleichung
137) PLT h ape=a si n o.
(47) --- = sin a).
13) P. L. Tschebyscheff, Sur la coupe des vetements, Oeuvres II, S. 708. A. Voß,
Über ein neues Prinzip der Abbildung krummer Oberflächen. Mathem. Annalen,
19 (1882), S. 1-26. L. Bianchi, Lezioni di geometria differenziale. 3. Aufl.
1920. I., S. 153-162.