Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 78. Minkowskis Stützfunktion. 135
Wir können uns darin für den Augenblick a% festgehalten denken
und finden dann durch partielle Ableitung, z. B. nach ac bei festen x
für den Berührungspunkt mit der umhüllten Fläche
X = P.
Aus Symmetriegründen müssen daher die Beziehungen gelten:
(32) Pi =Ps (Cl, 2, a3).
Dabei ist es unwesentlich, daß die a homogene Veränderliche, also
nur bis auf einen gemeinsamen Faktor bestimmt sind. Denn die P*
sind als Ableitungen einer im ersten Grad homogenen Funktion im
nullten Grad homogen:
P (u a,,,, al ~O 3)= Pi (aC, c,2,3); l > 0.
Wir wollen nun die Halbmesser R1, Re der Hauptkrümmungen
unsrer Fläche aus der Stützfunktion ermitteln. Nach Olinde Rodrigues
(~ 37) gilt für die Fortschreitung auf einer Krümmungslinie
dxi +- R di = 0
oder nach (32)
(33) zPik dk + R dei - O.
k
Darin ist, ausführlich geschrieben,
ik aai ok
Da die d~i nicht alle Null sind, muß die Determinante des Gleichungssystems (33) verschwinden:
P11 + R P1 P3
(34) P~ 1 P~2 R P23 0.
P31 P32 P38 + R
Diese scheinbar kubische Gleichung für R läßt sich leicht auf eine
quadratische zurückführen. Aus (31) folgt nämlich durch Ableitung
nach cc:
Z Pi ck O.
Somit verschwindet die Determinante der Pi,. Die Gleichung (34)
hat also, wenn man R weghebt, die Gestalt
R (P~ + P, + P33)R + (*)-0.
Daraus folgt das gesuchte Ergebnis
(35) -(R, + R2,) P~l + P~O + P33,
wobei rechts die normierten Veränderlichen ei einzusetzen sind9).
9) Vgl. dazu die Angaben von Aufgabe 13 des ~ 51.