Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 77. Starrheit der Eiflächen. 133
zum Kegelschnitt:3:- - ~ 0 konjugiert. Der erste ist nach (21)
innerer, also der zweite äußerer Punkt dieses Kegelschnitts. Somit
ist in der Regel
-1 2 = -ßy < 0
und nur dann
- -- -=0,
wenn die homogenen Punktkoordinaten d' versagen, wenn also die
Beziehung gilt
(24)= C =p y = o.
Haben wir zwei einfach zusammenhängende Flächenstücke X (u, v),
t (u, v), so bleibt das Doppelintegral
ff (E Dm De) du dv
ungeändert, wenn man für u, v neue gleichsinnige Veränderliche einführt. Es ist
-bV- (F 1/6 t) == (L V 1t ) + (f 0tZV 0) + (t t^ DV)
P (& V 0) (G UV q) F (& Jo + ) I (, v DU)
Daraus folgt durch Abziehen
(25) (2 (F bv) (u = U 0 ) V- )F K v) + av (W 9~ K ) Ö- (a, v).
Wegen (16) heben sich in unserm Sonderfall die ersten zwei Glieder
rechts weg. Für unser Doppelintegral ergibt sich also, wenn es über
einfach zusammenhängende Flächenstücke erstreckt wird, ein im geeigneten Sinn genommenes Randintegral
(26) 2 SS (E t,) du dv = f ( d )
Die Fläche (S) soll nun eine Eifläche sein. Wir können daher
(r) durch eine doppeltpunktfreie, geschlossene Linie in zwei einfach
zusammenhängende Teilflächen zerschneiden, auf jede die Formel (26)
anwenden und addieren. So ergibt sich
(27) Sf (E,t qD) du dv O =.
Andrerseits ist für jede der beiden Teilflächen
(28) ff (E t) d4 dv f- H (E f, j,) (cö - r) d i d.
Wählen wir den Ursprung im Innern von (S) und die Parameter u, v
in beiden Teilflächen so, daß ( r& rv) > 0 wird, so ist in (28) rechts
wegen (22) der Integrand < 0 und das Integral, welches nach (27)
verschwinden muß, kann nach (24) nur so zu Null werden, daß
a= -= y = einzeln verschwinden. Dann ist aber nach (17)
U) -) = 0, also t)(t) nur von t abhängig. Die Integration von (15)
liefert
(29) -- - () + (t) x> (, v; t)