Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

132 Fragen der Flächentheorie im Grofien.
setzt, das skalare Produkt verschwinden:
dS.d =O 0.
Man kann deshalb den Vektor da mittels eines Hilfsvektors t (,v;t)
darstellen in der Form
(15) d=t X< d.
Da dX ein Büschel von Vektoren durchläuft (bei veränderlichem d: dv),
so ist t) durch diese Formel eindeutig bestimmt.
Nach (15) ist bei festem t
t X dS = (D X ju) du + (D X Kv) dv
ein vollständiges Differential und somit
(16) sUX v== v X
Die Vektoren mu, tu müssen sich deshalb. aus den nach Voraussetzung
linear unabhängigen 4', V darstellen lassen
(17) l =-,U + ß Sv;,v - y~ + ö v.
Aus (16) folgt
(18) a+ö 0.
Ferner ergibt sich durch Ableitung aus (16)
(st t X UV) - (tV X tU) = (V X 6 2) - (x~ X 2~ V),
(gbv X BV) - V X t6)J (rV X t)b V) (r^6 X UV V)
Multipliziert man die erste Gleichung skalar mit rv, die zweite mit r
und subtrahiert, so folgt
(19) (vl uv)- (v vtl)= a,,,) - (#ZV V u)
oder, wenn man nach (19) in ~ 33 die Koeffizienten der zweiten
Grundform einführt,
(20) yL - 2Mcc -ßlN = 0.
Ist (S) elliptisch gekrümmt
(21) LN- M2 > 0,
so sind auf (S) und (t) entsprechende Umlaufsinne entsprechender
Stellen entgegengesetzt, d. h. es ist
(22) ab - ßy = - c - y < 0.
In der Tat! Die Punkte (die ~ bedeuten homogene Punktkoordinaten
in der Ebene)
dt =+Z, — + M, a =+N;
1'= - A, &: =+ -,,' = + y
sind wegen (20) oder
(23) ^1 ' - 2~ e.2 + t = 0