Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 77. Starrheit der Eiflächen. 131
Haben wir nun eine Eifläche mit 2 H 1, so gilt
1 1 0; 1 1
-> > O * + _
R, R2 R1 R?
~Somit wäre, wenn die Eifläche nicht Kugelgestalt hätte,
< (-) < a
2 \B jMax
oder
1 < (R)Min< 2.
Für den zugehörigen Hauptkrümmungshalbmesser
R —R- 1
der Fläche (g) mit K 1 hätten wir
0 < (R)Min < 1
im Widerspruch mit dem Schlußergebnis von ~ 75. Damit ist unser
Satz bewiesen.
~ 77. Starrheit der Eiflächen.
Der Satz von der Starrheit der Kugel soll in engerem Umfang
jetzt auch für beliebige Eiflächen (~ 76) bewiesen werden. Dieses
Ergebnis verdankt man wiederum H. Liebmann6). Der folgende Beweis stammt von H. Weyl und dem Verfasser7). Der fragliche Lehrsatz läßt sich etwa so fassen:
Soll eine Eifläche stetig und längentreu verändert werden, so ist
sie nur als starrer Körper beweglich.
Von dieser ~Abänderung" wird vorausgesetzt, daß sie sich folgendermaßen darstellen läßt. Es sei r (i, v) eine Parameterdarstellung eines
Stückes der Eifläche. Wir setzen
(13) (, v)=, v;0);
und (u, v; t) sei in allen drei Veränderlichen analytisch. Den verschiedenen t-Werten entsprechen die verschiedenen Lagen unsrer veränderten Fläche. Die Teilableitung nach t sei im folgenden durch
ein vorgesetztes ö gekennzeichnet. Soll dann die Abänderung so erfolgen, daß die Bogenlängen der auf den Flächen t konst. gezogenen Kurven erhalten bleiben, so muß
(14) ö (ds2) = (d)2- 0
sein. Oder es muß, wenn man für.
At -
6) H. Liebmann, Göttinger Nachrichten 1899. Math. Annalen 53 (1900)
und 54 (1901).
7) W. Blaschke, Göttinger Nachrichten 1912, S.607-610; H. Weyl, Berliner Sitzungsberichte 1917, S. 250-266. W. Blaschke, Die Starrheit der Eiflächen. Math. Zeitschr. 9 (1921) S. 142-146.
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