Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

128 Fragen der Flächentheorie im Grofien.
(~ 46 (120)) die Gestalt an
L N
(t) Fu d=-~u E, G= —
Nach Olinde Rodrigues (~ 37 (49)) war längs einer Krümmungslinie
d + Rd-= 0.
Wir haben also für die Hauptkrümmungshalbmesser
E G
(2) RR,' R N
Die Gaußische Formel (~ 49 (138)) vereinfacht sich dann zu
(3) K EGLN 1 | v + 8 - au
EG lG EG t a WG öu VE J
und die von Codazzi (~ 49 (139))
L — E d-,
~(4) ~L 2 Ev E G'
N = 2 G -E + G)
Wir wollen den Satz Liebmanns etwa unter der Voraussetzung K = 1
beweisen. K 0 müssen wir nämlich ausschließen; denn die Torsen
enthalten geradlinige Erzeugende, sind also sicher offene Flächen.
Ebenso ergibt K < 0 keine geschlossenen Flächen, da in einem
~höchsten" Punkt (etwa x3 = Maximum) der Fläche K > 0 sein müßte.
Es bleibt somit nur K > 0 zu behandeln und durch eine Ähnlichkeit
läßt sich immer K = 1 oder R.R2 = 1 erreichen. Wir können
dann setzen
(5) R1 = tha, R2 = cth o,
wo die "Hyperbelfunktionen" th und cth so erklärt sind:
e+ -e- + e+,th --, cth o ---.
e+- +e- c e+a-e-o
Aus (2) folgt
E
L th
und daraus
(6) L Ev Eav
V t ha~ sh2a'
worin
sh ao -e-+ ), cha == 1(e~+ Fea),
sha
tha --
ch a
ist. Vergleicht man mit dem, was aus (4) folgt, wenn man darin o
einführt, so ergibt sich
1 E a
2 E —~vcth~.