Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 73. Die Förderung der Flächentheorie durch Gaufi. 123
~ 73. Die Förderung der Flächentheorie durch Gaujß.
Von Gauß gibt es zwei bedeutende Abhandlungen zur Flächentheorie. Die erste hat Gauß 1822 als Preisschrift der Kopenhagener
Akademie eingereicht. Sie ist 1825 erschienen unter dem Titel "die
Teile einer gegebenen Fläche auf einer anderen gegebenen Fläche
so abzubilden, daß die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten
Teilen ähnlich wird" (Werke Bd. 4, S. 189-216). Ungleich wichtiger
als diese Arbeit über die winkeltreue Abbildung ist die zweite Gaußische
Schrift zur Flächentheorie, die 1.827 erschienen ist, die,Disquisitiones generales circa superficies curvas" (Werke Bd. 4, S. 220-258).
Beide Abhandlungen sind nicht aus reinem Denken entstanden, sondern Ergebnisse seiner geodätischen Arbeiten bei der von ihm geleiteten Vermessung von Hannover (1821-1841).
Das Hauptergebnis der,Disquisitiones", nämlich die Biegungsinvarianz des Krümmungsmaßes, hat Gauß schon 1816 gekannt und
1822 an der isothermen Form des Bogenelements hergeleitet.
Erst 1826 gelang ihm die allgemeine Herleitung des Krümmungsmaßes aus einem beliebig vorgeschriebenen Bogenelement.
Die Verbiegung von Flächen ist schon vor GaußT von Euler und
Monge untersucht worden; und zwar haben beide nach den krummen
Flächen gefragt, die auf die Ebene längentreu abbildbar sind. Die
geodätische Krümmung ("Seitenkrümmung") und ihr Integral ist zuerst
von Gauß behandelt worden (Werke Bd. 8, S. 386). Vielleicht hat
er auch schon die Integralformel (97) von Bonnet besessen, die den
Zusammenhang zwischen der Flächentheorie und der nicht-Euklidischen
Geometrie herstellt, zu der ebenfalls Gauß den Grund gelegt hat.
Die,Disquisitiones" haben als erster großer Fortschritt in der
Flächentheorie seit Monge einen bedeutenden Einfluß auf die Entwicklung der Geometrie gehabt. So haben sich Arbeiten von Minding,
Mainardi, Codazzi, Bonnet und Jacobi angeschlossen. Die wichtigste
Weiterbildung der Gedanken von Gauß hat aber B. Riemann in
seinem Habilitationsvortrag von 1854 gegeben, auf den wir später
eingehend zurückkommen werden.
Eine geschichtliche Würdigung der geometrischen Leistungen des,Princeps mathematicorum" findet man in der Schrift von P. Städkel,
C. F. Gauß als Geometer, Leipzig 1918.
~ 74. Aufgaben und Lehrsätze.
1. Eine geometrische Deutung des Krümmungsmaßes. Bedeutet
S (e) die Bogenlänge einer Parallelkurve zu einer geodätischen Linie
im geodätischen Abstand e, so ist
(168) d2S () Kds,
(1o8) dsa~~~~~~~ e