Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

120 Geometrie auf einer Fläche.
derselben linearen, homogenen partiellen Differentialgleichung zweiter
Ordnung, der Verallgemeinerung der Differentialgleichung von Laplace.
Um den Zusammenhang zwischen p und q zu bekommen, berechnen wir uns auch noch die ersten Differentiatoren nach (115)
und (117)
(153) V7=- 9 +
(154) V(, S)- +
also
(p, q)- 0.
Die letzte Gleichung lautet ausführlich in den Veränderlichen u, v
(vgl. 117)
(155) (Epv - Fp,) q, + (Gp, - Fp) q - 0.
Daraus ist
q,= - (Ep,- F p),
q + (G P - F v)
Bildet man linker Hand V q (u, v), so folgt wegen V p =- q
(156) 1 =EG-F 2
Somit haben wir
iz Epv-Fp,
(157) p -F p
qv + Gp,-F p
und umgekehrt
r158 I" Eq,-Fqu
(158) Gq
Gqu-F qv
tPv -— n W'
Ist insbesondere schon das System u, v isotherm, so vereinfachen
sich unsre Formeln zu
(159) p, =+ qv, pv -qu,
wenn man etwa W > 0 nimmt. Diese Gleichungen sind das System
der Differentialgleichungen von Cauchy und Riemann aus der Funktionentheorie; die Formeln (157) oder (158) sind also als die Verallgemeinerung dieses Gleichungssystems anzusehen.
Ist eine Lösung p von p = 0 bekannt, so bekommt man die
dazugehörigen q durch Integration über ein vollständiges Differential:
(160) q f (EPv - Fpu) du + (Gpt - Fp) dv
{löu) y - J w