Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 66. Beltramis erster Differentiator. 113
mäßig, gewisse Differentiationsprozesse abzuleiten, die gegenüber
längentreuen Abbildungen invariant sind, und die gestatten, aus einer
auf der Fläche gegebenen Funktion eine zweite zu bestimmen, die
mit ihr invariant verknüpft ist.
Ein solches Differentiationsverfahren, das aus einer Funktion
p (u, v) auf unsrer Fläche mit dem Bogenelement
ds2 =E du2 + 2 F du dv + G dv2
ein Maß für die Steilheit des Anstieges der Funktion 9p an einer
Stelle liefert, bekommen wir folgendermaßen. Wir suchen an dieser
Stelle den Größtwert von (dp:ds)2, wenn wir ds um den Punkt
drehen. Es soll also
(109) (d) -=- (%'-t' +,9 v')2 Maximum
werden unter der Nebenbedingung
(110) = Eu2 + 2 Fu'' + Gv'2 = 1.
Nach der bekannten Multiplikatorregel von Euler und Lagrange
bildet man
(1 1) 9 (= d )2
und sucht die freien Extreme von Q. Die Gleichungen aQ: au'=- 0,
a DQ: av' = 0 geben
(u' + p5v) Cpu. - X (Eu' + Fv')= 0
(112)
(1U) ( + fvv') Q,, - i (Fu' + Gv') o.
Multipliziert man beide Formeln mit u', v' und addiert, so erhält man
(113) (ds )
Entfernt man andrerseits 1', v' aus den beiden Gleichungen (112),
so folgt
2 (EG - F2) EV2 - 2 F99p v -+ GTu2.
Somit ist
(d 2 E 99,1 - 2 F_____, ___ + G 9
(114) (2F +G
ds Maximum EG -F2
Wir wollen für diesen,ersten Diferentiator von Beltrami", der schon
bei Gauß vorkommt,
E g —2 F T9u.Tv q G 99u2
(115) V7(), V)= — VC = EG-_F2U
schreiben. V kann man etwa ~Nabla" lesen. Die Benennung
B asc h k e, Differentialgeometrie. 8