Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 63. Das Integral der geodätischen Krümmung. 107
~ 63. Das Integral der geodätischen Krümmung.
Wir wollen jetzt wieder zur inneren Geometrie einer beliebigen
krummen Fläche zurückkehren und den Sonderfall K - konst. verlassen.
Wir betrachten mit Gauß/ das längs einer Kurve genommene
Integral ihrer geodätischen Krümmung
(88) fs.
Von der Kurve wollen wir annehmen, daß sie geschlossen sei, keine
mehrfachen Punkte habe und sich durch ihr "Inneres" hindurch stetig
auf einen Punkt zusammenziehen lassen soll. Ihr Inneres ist dann
~einfach zusammenhängend". Eine Kurve z. B., die um einen Ring
herumgeschlungen ist, begrenzt in diesem Sinne keinen einfach zusammenhängenden Teil der Oberfläche. Dagegen umschließt jede
doppelpunktsfreie, geschlossene Kurve auf der Kugelfläche zwei solche
Flächenstücke.
Wir wollen einen Zusammenhang herleiten zwischen dem Integral
der geodätischen Krümmung längs einer solchen Kurve (6 und dem
Oberflächenintegral
(89) f Kdo = ff dudv,
erstreckt über das "Innere" von (. Dieses Oberflächenintegral hat
ebenfalls Gauß eingeführt und als "Gesamltkrümmung" (curvatura
integra) bezeichnet.
Wir nehmen unsre Kurve ( als Kurve v 0 eines orthogonalen
Parametersystems
(90) ds -A'2du + B2dv2; A > 0, B > 0
und setzen voraus, daß
(91) ( )>
Wir denken unsre Fläche von der Seite betrachtet, daß Yv "links"
von ut liegt. Der Sinn wachsender u auf $ soll so gewählt werden,
daß das "Innere" von ( links von ( liegt, also ov mit der nach
innen gerichteten Normalen zusammenfällt. Dann haben wir nach (10)
dsV A jv Av
(92) B Ad= Bdu.
Es ist
d ds r (d
db == d - du.
Andrerseits ist die Ableitung des Flächenintegrals
d f Kdo - KABdu.
dv