Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 62. Längentreue Abbildungen einer Fläche. 105
senkrechten Halbkreises, für eine Bedeutung hat. Die Schnittpunkte
dieses Halbkreises mit y -= 0 seien mit zo, zo bezeichnet (Fig. 17).
Durch die Substitution
(84) z* - Z-Zo _z
die das Integral (83) ungeändert
läßt (vgl. (79)), werfen wir unsern
Halbkreis auf die Halbachse der Zo Z.
positiven y. Jetzt wird Fig. 17.
Y2*
(85) S= In dy 2*.
yi*
Das läßt sich auch durch ein Doppelverhältnis ausdrücken
S lnDv (zl* z**z,* ).
Da aber das Doppelverhältnis bei linearen Substitutionen ungeändert
bleibt, haben wir schließlich
(86) S = lDv(z ZoZz )I.
Darin ist die gewünschte Deutung von S enthalten.
Was ist das Abbild der ~Entfernungskreise" in unsrer Halbebene?
Nach ~ 56 schneiden die Entfernungskreise ihre geodätischen Radien
Fig. 18.
senkrecht. Da die Abbildung auf die Halbebene winkeltreu ist, können
wir das Abbild der Entfernungskreise um den Punkt z0 so konstruieren. Wir zeichnen alle Halbkreise durch zo senkrecht zu y== 0.
(Fig. 18.) Die orthogonalen Trajektorien dieses Halbkreisbüschels
sind bekanntlich wieder Kreise. Das Abbild der Entfernungskreise
sind also gewöhnliche Kreise, die ganz in der Halbebene y >0
verlaufen.
Um festzustellen, daß alle diese Entfernungskreise auch gleichzeitig Krümmungskreise sind, kann man so verfahren. Man schafft