Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

104 Geometrie auf einer Fläche.
Dazu braucht man nur zu zeigen, daß das Bogenelement (64)
bei der Abbildung (77) erhalten bleibt. Man findet
dz
(78) dz*= (a6 - fy) (yz
und aus
{c(z+iy)+ßz}-{/v-iy)+~}
ergibt sich
y* - 6 -- ) +
Daraus folgt
(79) ds* — l d** 1 ds,
wie behauptet wurde. Nimmt man zu den Transformationen (77)
noch die Abbildung
(80) x* =- x, y* = y
hinzu, so bekommt man durch Zusammensetzung alle Abbildungen
unsrer Halbebene y > 0, die den längentreuen Abbildungen der Fläche
in sich entsprechen. Dazu braucht man nur zu zeigen, daß man
durch eine Abbildung (77) jedes Linienelement in (y > 0) in jedes
andre Element derselben Halbebene überführen kann. Jeden Punkt
ZO == o + iyo mit yo > 0 kann man überführen in den Punkt z* = i
durch die Substitution
(81) Z= (Z - Xo)YO
Außerdem läßt sich unsre Halbebene y > 0 um den Punkt z =i
durch einen beliebigen Winkel co drehen", was durch die Substitution
tg- + z
(82) z* =
i-z tg
gelingt. Man findet nämlich aus (82) durch Differenzieren für z = i
dz* - eiodz.
Damit haben wir also die Gesamtheit der längentreuen Abbildungen unsrer Fläche auf sich selbst in den Parametern x, y oder
deren komplexer Verbindung x + iy = z analytisch dargestellt.
Man kann jetzt leicht einsehen, was das Integral
(83) S = f d —/ + dy,
genommen zwischen zwei Punkten z, z2 (Yk > 0) längs des Abbildes
der geodätischen Linie, also längs des sie verbindenden auf y = 0