Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 56. Geodätische Linien. ~ 57. Geodätische Polarkoordinaten. 95
Das gibt sofort den, Satz: Die orthogonalen Trajektorien eines
geodät.ischen Feldes schneiden auf den geodätischen Linien des Feldes
gleiche Längen ab.
Umgekehrt: Schneiden die Kurven u = konst. auf ihren orthogonalen Trajektorien v = konst. gleiche Längen aus, so sind die
Linien v = konst. geodätisch.
Die Kurven u = konst. nennt man geodätisch parallel. Für die
Bogenlänge einer Kurve des Feldes v v (u), v (u) =v (u) =v
erhält man
(29) s =J/+G ( Xdu
ud
Wegen G >0 folgt danach
(30) s>u -U0
Daraus ergibt sich, daß die geodätischen Linien kürzeste sind.
Ldäßt sich ein Bogen einer geodätischen Linie in ein ~Feld" einbetten4), so liefert die geodätlische Linie die kürzeste Verbindung zwischen
zweien ihrer Punkte im Vergleich zu allen anderen innerhalb des Feldes
verlaufenden Kurven.
Die Bedingung des Einbettens ist dabei nicht überflüssig. Davon
kann man sich am besten auf der Kugelfläche überzeugen. Die
Großkreise der Kugel sind dort die geodätischen Linien. Jeder Großkreisbogen, der kleiner als ein Halbkreis ist, läßt sich in ein Feld
von Großkreisbogen einbetten, hingegen ein Großkreisbogen, der
diametral gegenüberliegende Punkte enthält, nicht. Tatsächlich liefert
aber auch ein Großkreisbogen, der über einen Halbkreis hinausragt,
für die Bogenlänge kein Extrem.
~ 57. Geodätische Polarkoordinaten.
Es sei o ein Punkt einer Fläche, (p der Winkel einer durch o
gehenden geodätischen Linie mit einer festen Richtung durch o, und r
die auf dieser geodätischen Linie gemessene Entfernung eines ihrer
Punkte von o. Diese Größen r, op kann man als das Gegenstück
der Polarkoordinaten der Ebene als geodätische Polarkoordinaten bezeichnen. Das Linienelement hat für diese Parameter r, 99 zunächst
die Gauß'ische Form (28)
(31) ds2 =dr -o-Gdcp2. 5)
Hierin ist enthalten, daß die ~geodätischen Kreise" r = konst. ihre
4) Diese Bedingung des Einbettens ist nahe verwandt mit der sogenannten
Bedingung Jacobis, auf die wir später (~ 83) zu sprechen kommen werden.
5) Auf die Frage, in welchem Umkreis um o diese geodätischen Polarkoordinaten brauchbar sind, kommen wir später zu sprechen (~ 85).