Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

92 Geometrie auf einer Fläche.
Dabei war vorausgesetzt, daß die Verrückung senkrecht zur Kurventangente erfolge und v die Verrückungskomponente in Richtung der
Hauptnormalen ~o bedeute. Jetzt haben wir die Formel
(18) ös= — f 8nds.
Nun ist nach der Erklärung von v
'e{3) ön Q^ n.
Da durch diese Substitution die Formel (17) für ös in die Formel (18)
übergehen muß, finden wir tatsächlich
5. Beweis on r einen Satz on
~ 55. Beweis von Radon für einen Satz von Schwarz.
J. Radon hat bemerkt, daß man die Sätze von Schwarz aus
~~ 28, 29 durch den Begriff der geodätischen Krümmung sehr einfach bestätigen kann. Beweisen wir z. B. folgendes:
Eine, geschlossene Kurve des Raumes, deren Krümmung ~ Eins
ist, und die höchstens eine Ecke besitzt, hat mindestens den Umfang
des Einheitskreises.
Man lege durch die Ecke p der Kurve oder, wenn die Kurve glatt
verläuft, durch irgendeinen ihrer Punkte als Spitze den durch die
Kurve l hindurchgehenden Kegel. Durch Abwicklung dieses Kegels
in die Ebene geht ~( in eine ebene Kurve (* über. Nach den Ergebnissen des vorigen Abschnitts ist
1 1 __
(19,) e i.
Damit ist die Aufgabe auf ein
Problem der ebenen Geometrie
zurückgeführt.
Durch ein Spiegelungs/...." verfahren kann man stets erb ^ \ A y' f reichen, daß der von ' nach
den Punkten von (* hinweisende Fahrstrahl sich beim
Durchlaufen von S* stets im
'.^,^ ^; / ^^ gleichen ~positiven" Sinn um
1 dreht, indem man nämlich
Teile von (* nötigenfalls an
Fig. 16. den durch p gehenden Tangenten spiegelt (Fig. 16).
In der Ebene ist nun, wenn wir p zum Ursprung eines rechtwinkligen Achsenkreuzes x", x, wählen, nach ~ 9 (85)