Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 51. Aufgaben und Lehrsätze. 85
16. S. Lies Abbildung der Geraden auf die Kugeln. Durch zwei
Ebenengleichungen
(154) x = ax3 + x, x =2 bx3 + q
ist deren Schnittlinie festgelegt. Man kann a, b, p, q als Koordinaten
dieser Geraden ansehen. Es sei ferner
(155) (x - x) + (x, - y)2 + (X3 - z)2 =
die Gleichung einer Kugel. Durch die imaginäre Zuordnung
a = x +- iy, b = + r, = -
(156) { -
p = x - iy, q =z- r,
werden die Geraden derart auf die Kugeln abgebildet, daß schneidenden Geraden im allgemeinen berührende Kugeln entsprechen.
Allen Tangenten einer Fläche entsprechen in der Regel alle eine
andere Fläche berührenden Kugeln. Den Asymptotenlinien der ersten
Fläche sind dadurch die Krümmungslinien der zweiten zugeordnet.
S. Lie, Über Komplexe..., Math. Annalen 5, 1872, S. 145- 256.
17. Flächentreue Abbildung. Die Punkte x1, xo einer Ebene
lassen sich auf die Punkte derselben Ebene dadurch unter Gleichheit
entsprechender Flächeninhalte abbilden, daß man setzt
(157) - X rf(u, v) f(U, v)
üU X2 au 4 -
(a57) x - v (a ) v - f + v)
G. Scheffers, Mathem. Zeitschrift 2 (1918), S. 181. Ein Sonderfall bei
Gauß, Werke III, S. 373. Vgl. auch D.-A. Grave, Journal de mathematiques (5) 2 (1896), S. 317-361.
18. Äquilonge Abbildungen. Betrachtet man eine Zuordnung,-> * der Ebenen des Raumes, so sind entsprechende Ebenen (, Q*
im allgemeinen kollinear aufeinander abgebildet, wenn man die
Schnittlinien mit unendlich benachbarten, einander zugeordneten
Ebenen sich entsprechen läßt. Nach einer von E. Study eingeführten
Bezeichnung nennt man die Zuordnung ( -+ ( *, äquilong", wenn entsprechende Ebenen stets kongruent aufeinander bezogen sind. Schreibt
man die Gleichung einer Ebene in der Form
u +o v u- v 1-uv w
(158) - x - Z -- Xu 4 ~, x = w
1+ / x1 1 l + 1+ uv
dann kann man in den Ebenenkoordinaten u, v, w, die zuerst von
0. Bonnet benutzt wurden, die äquilongen Abbildungen so darstellen
(159) u* u* (u), v* * (), wv*(v) * +_ du* dv*),
du dv '