Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUINZIEME SOLUTION85

85

The'oreme. - Si 1- 2aV~2 les points P1 decinen' e
sommets d'un triangle ~quilat~ral ayant 0 pour centre.
Variante. -Le syste'me graphique ddriv6 pent se constituer
avec l'hyperbole et le couple rectiligne mis en 6vidence. La
recherche de P1 se fera 6galernent par une construction re~glecompas (construire an pr6alable les foyers de la conique). La
s6cante d'abscisse n~gative coupe de tonte 6vidence 1'hyperbole,
1'autre se'cante exige pour la r~alit6 de P, P1 quFlon ait
a~Vai~- >2a - on a2+1 a
V 222
on Vai 2 + 1 > 3a, on 12 > 8a2.
EXERCICE. - Dans la recherche des coordonn6es, montrer la
simplification qui affecte le calcul'de y.
Note. - Ii n'est pas absol ument indispensable d'adopter
les axes Ox', Oy' pour d~gager le conple rectiligne ci-dessus.
En eff et, on 6,crira avec Ox, Gy
x2 + y2 -_ (X + y) 2 - 2xy 1
et, par idimination de xy,
fIx + y) -(x + y)2 -- 2a(x + y) -12 =0.
Sons une forme 6quivalente on aura
x +I y =a ~- Vaii12
ensemble de deux droites paralbe'les a la deuxie'me bissectrice
de xOy.
EXERCICE. - Revoir le moyen d'obtenir la distance do
l'origine A une droite d'6quation donn~e. En faire l'application
a la discnssion des droites trouv~es, associ~es a l'une des
coniques fondamnentales (ce proc~d6 ponvant servir de nonvelle
variante).
XVe Solution
_M~thode. - Nons l'avons annoncke: c'est la determination
pri~alable du faiscean rectiligne parallele a Ox' contenant les
points Pi. II fandra ensnite s'inqui6ter de l'apparition probable
des solutions 6trange'res, qui ne se sont pas manifestoes dans la
solution pri~c~dente.
Remarquons, en vue de, l'6imination de x', la presence d'un