Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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84 ~~~DEUXIEME PARTIE

Pratiquement, la construction pent s'effectner uniquement au moyen de la r~gle et du compas. En eff et, la valeur
Va 2 ~i 12 -a 2a1
absolue de x' 6tant, on construiraVai 2
v'a2 +i 12 - a, et Ilx'I s'en d~iduira comme projection de cette
dernie're longueur Sur un axe a 450. Nous avons aff aire aL une
o( construction g6om~trique e), pour employer l'expression un
peu vague consacr~e (1).
La discussion de la s6cante dont l'abscisse est positive, cornporte quelques, d6veloppements.
La comparaison de -~ 1 aFlabscisse en questicn conduita
f ormer f( ) 1(1 -2a\/2).
Si 1 < 2aVY', ~ I prenant place entre les racines de /, la
s6cante ne coupe pas r~ellement le cercie. Si- 1 2aV2, la
secante devient tangente en un point double P1 on P1. Si
I > 2aV'2 deux nouveaux points-solution distincts P, P'
s'ajoutent A P1, Ps'.
La condition de r~alit6 du traphze isocde des quatre points
P., sym6triquement places par rapport ah OA, est done
1 > 2 aV2.
EXERCICE. -Ii reste a distribuer les points-solution dans
les quadrants de xOy.
Montrer que cela revient a comparer ~ aux racines def
*et faire cette double comparaison.
Le cal'cul des coordonn6es x', y' ne pr6sente aucune difficult6.
Pour P', on trouvera
a__~ -i 12 1/2 -2a 2 -+-2aVa 2 ~_ 1 2
Si l'on examine les racines 2ay'2, -- a\/2 de f r6pondant an
cas particulier 1 2aV'2, on constate que la s6cante P' P"'
se place a~ une distance de 0 6gale aLGA, tandis que P1P' devient
la tangente commune en A. an cercle et a l'hyperbole.
On pourra en d~duire, a! titre de vWrification Si On v\ent
d'nne proposition ant6rieure concernant les points P, homoth6tiqnes de, P,, le thr6oime snivant
(1) D'une pareille construction 616mentaire faite h ia r~gle et au compas
pourrait-on dire, faute de mieux, ((construction r~gle-compas