Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUATORZIEME SOLUTION 8

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ad~gager les ensembles rectilignes parall~les aux axes. Cette
fois ces ensembles ne se pri~senteront plus av~ec la me'me analogie
et nous sommes dans l'obligation de leur r~server des solutions
s~par6es. Nous commencerons par obtenir un syst~me r~duit
adeux droites parall~les a Oy'.
L'6quation du cercie garde manifestement sa orine prkc6 -dente et devient X'+ y'2 -12.
Pour avoir celle de l'hyperbole, nous pouvons reprendre les
x 4-y
formules du changement de coordonn~es x'
y x x'-yf xi___
y ~~en tirer xz -y et transformer
xy a(x + y), ce qui donne X2 y'2 2 aV/- x'..Nous pouvons 6galement pa rtir de la orine canonique
X/- f2::- (a V)2
de la courbe rapport~e a ses axes de symfitrie Ax', AY', puis
revenir a l'ancienne origine, ce qui donne
(x/ - aV\2)2 - y2 2a2
et, par suite, x' y'2- 2a\V2 x' 0.
Q uoi qu'il en soit, le syst~me fondamental sera
(I x2 -+- y2 -12, X'2 — y'2 2a\/2 x'.
Tout co uple de valeurs x', y' satisfaisant 'a ces deux relations
satisfera a la combinaison, la plus simple possible, qui en
provient par voie d'additioni, A savoir
f(x').=2x'2 - 2a\/2x' -- 12 -0.
Le lieu d~riv6 correspondant consiste en deux droites parali6les ak Oy', toujours re'elles; nous l'appellerons le couple
rectiligne des s6cantes communes aux courbes d6finissant les
points P. Le syst~me d~riv6 sera de pr~frence
(2 x2, y'2 - 12 2x2 2a~' 12 -0.
L ---e probl~me graphique, r6duiit a son maximum de simpliel t, revient alors a trouver les points de rencontre d'u~n cercle
et de deux droites.
Th~oriquement. la premi~re skcante, d'abscisse n~gative,
coupera le cercie en deux points rdcls Ps' P, Si. c ette abse'isse
surpasse - 1. En formant f 1), on aJ- 1) [ 2+ 2alV72,
dont le signe 6vident montre que - I se place en delbors des
racines de J et en deca de la n6(gative.