Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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82 IJ~~~EUXIEME PARTIE

dont le trac6, sinon discontinu, du momns continu est plus
simple. En revanche, les points 6trangers qui s'introduisent Ic
sont moims, et le calcul de l'ordonn6e devient plus compliqud.
Ces points-solution 6trangcrs -apparaissent comme les sym6 -triques relativement aL Ox des points v~,,ritables P1 nousle
i6harterons en situant exactement dans ]es quadrants ('1), (2),
(4) chacun des points P1, ce qui revient en definitive aL op6rer la
discrimination des quatre racines de, l6quation r6ciproquc (E1).
La valeur y --- Z 'l - X2, d'abord ambiguei, se discriminera
son tour par le signe de F, A savoir ~+- s'il s'agit de P, P', F",
et -s'il s'agit de Pt". Un autre inconvenient tient a 'application elle-me'mee du radical, exigeant X2 < 1.2. Ainsi, apropos
de P' faudra-t-il avoir l'in~galit6 x > - I on
2r >Y12 2 + 2V1 ~fr2 +\/It r2-I
on \/,2- -2 +2V1 -+- r 2 < 2r+I - t t+ r2,
avec 2r I > VI - r 2, cc qui est vrai,
o,2 -- 2 + 2y'I -+ r 2 + 4 r + 2 2(2r +- 1)v1 7
Oil (r 1>11-r2 < r2 r H-1
oul r4~+2.3-+-2r2~+2r~1~r 2r3 3r + 2r~1, c
qui est vrai.
EXERCICE. - Faire le calcul de y et constater que le radical
du troisihme ordre s'abaisse au sIecond.
Note. -Si, par l'introduction d'une variable d'homog6n~it z,
on rend homog~nes les relations dont on est parti, elles so
f ormulent X2 -v- y2 - 12Z2, Xy- a(x -v y)z. L'6limination de y
fournira un lieu derive homogene et du 4te degr6 en x, Z,;le
x z
calcul portera sur - on, tout aussi bien, sur - et conduira a une
z x
r6solvante r~ciproque.
Pour retomber sur les r6sultats trouv6s, on fera z =1. Dc
Meme, on saura' 61iminer x on dans ces conditions.
XIWe Solution
Mfthodologie. - Nous rapporterons les deux licux fondamentaux de P1 aux axes Ox', Oy' et nous suivrons 'a nouveau
la m6thode de combinaison des licux repr6sentatifs, de facon