Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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80 ~~~DEUXIEME PARTIE

Xllle Solution
Mkthodologie. -AppliquLon's la nm~thode de combinaison des
lieux repr~sentatifs AL la d~tormination de P1, d e mani~reA
faire apparaib-re un ensemble roctiligne eomnme lieu dGriv~.
D'abord nons choisirons l'ensemble des droites, an nombre de
quatro, parall~les A Oy ou 'a O.x indiff6rornment. Le mn~canisme
du calcul, consistant AL liminer y entro deux relations, se
pr6sentora sons deux processus diffhrents.
A l'aide du syst'me (I1) X2 2+ 12, xy a (x - y),
ax
isolons y en 6crivant y _
x '.
Portons 1'expression. de y dans la premiker relation, ii vient,
a2x2
2 (x -a)2 - 12.
Sons l'influenee des coordonn~es d'un point P1 los~expressions
a2x2
x2 ~i y2, x2 + )2prendront la meme valeur, 12, de sortle
quo la nouvelle 6quation repr~se-nte nue courbe contenant les,
points P,: e'est le lieu eherchL.
Constituons le syst~me non 6quivalent A (1)
ax
(2) x4 -2aX3 +j(2a2 -l2)X2 -- 2a12X -a2l2 -0, y~
Les points d'intersection do la quartique, dGg~n~r~e en,droitos, ot do l'hyperbole sont aim nombre do huit, r6els on
non o n niottant A part le point, A l'infmni riel sur Gy, cornpt6
quatro folis, ii reste quatro, points dont on doit disentor la
r~alit6 et qui ropr~sentoront, P1. D'ailleurs la resolution discut~o
do lNquation on x a fait l'objet do Ila VIIle solution. Uno fois x
ax
calcuk, la valour finie correspondante do y sera aOn
p out mc'rne observer quo, du point do vue pratique, los points
A l'infini sont cart~s par la formo donn(-'e A l'quation do
lPhyperbole.
Un autro procossus du calcul consistora A altdror le degr6 dle
l'hyperbolo en kcrivant p (a)'co qni reviont. A Ia
comptor deux f6is (a la rondro double). Uno soustraetion
a2x2
prodnira onsuito X2 -12 - a)2, qui est lo lion pr&cMent.
(,x - a