Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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78 ~~~DEUXIEME PARTIE

mental) qui d6rivent de celui qui est donn6 et d~terminant.
les me~mes points.
ANote. -Montrons, incidemment combien ces consideirations
g6om6triques simplifient 1'6tude de 1'6,quivalence alg6brique.
Reprenons un raisonnement' classique. Partons d'un syst~mo
et fo rmons le syste'me
Toute solution xi, Y1 de (I) annulant f et p annulera at / ~ G3 o
et oc'f +i f3'p, donc appartiendra a (II).
1R6ciproquement, une solution x2, Y2 de (II) annulera en
meme temps que les premiers membres de co- systeme leurs
cornbinaisons
3 (X/ + r CO) - P (OCiif — r'), - '(!+ 3P?) + +co/*.r')
autrement dii (c3l-,%'f (Oq3 - oc')y, et, en. dernier
ressort, f, yP, pourvu que '- 3o' soit difflsrent de zdro,
condition revenant a
Ce raisonnement en partie double (1) est rendu inutile si l'on
slastreint a coneritiser en quelque sorte la solution par le tracd
des lieux repr6sentatifs distincts.
Poursuivons l'exposition du proced6 et essayons de r6aliser
sur (1), (2) des combinaisons non toutes lin6aires:nouas ferons
natre ainsi la grave question des solutions 6trang'res. En effet,
adressons-nous en toute g6n6r alite' pour un Imoment au syst~me
(C1), (C2), oils / et p sont supposes de degris n, nW. Nous savons
que les, points communs ausx lieux figuratifs C., C2 sont au
nombre de nn'. Par suite, toute combinaison produisant un
lieu di~riv6 au momns, de degri6 sup~rieur ns" au lieu fondamental.auquel il se substitue, mettra en 6vidence un nombre superieur,
n'n" par exemple, de points communs. Elle aura forcement
introduit n'n" - n' points-solution strasigers. Faudra-t-il
abandonner los combinaisons de cette nature? Non (ot nous
a-urons I'occasion do voir des cas o~i elles produisent de notables
simplifications), car, me'hso eIn so placant au point do vue
pratique, ii pout arriver que les points 6trangers introduits
soient emg irs t, dans ces conditions, los courbes traceos
continuont at so couper suivant le syste'me primitif do points,
ou quo cortains points introduits coi ncident avec des points

(1) L'1~ve0e n,lg trop souvent la r~ciproque.