Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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74 ~~~DEUXIEME PARTIE

cs~t ~oal,~ celui des coefficients angulaires in des quatre droites
AM (se servir de la relation, de nature homograpbique, entre x
20 Etudions le rapport lorsque les points AI sont justement
quatre points de Pappus donnis par une valeur d6termini~e
de j2, Prenons-le, Min, in2, in3, in4 d~signant les coefficients des
droites A, sous la fo tmr:e
i3 in ml 4 - i2 2 -(inrn4 in2i3)
i3 i2 in -i1 2 i1m3 + 2i 4),oP on pose inin m rn4 in
Or nous avons trouv6, dans la digression qui pr~c~de,
12
11102 +i11fl3 inMin4 -F in2M3 i nPin4 + in3m. = 2 —
'a2'
+ 1m3 H-min24
Le rapport s'~rit 2 (Mnm3 + Mn2n?4)
Sa valeur devenant - I dans le cas particulier 12 - - 4a
imous 6noncerons
The'ore'me. -Le faisceau, des quatre droites (le Pappas est
Iharmonique (imaginair e) Si 12 -F- 4a est nut.
lNote critique. -- Cette m6thode de recherche des pointssolution P1 par intersection de deux c oniques, bien que June
soit un cercie, laisse A d~sirer au point de vue pratique. Sous ce
rapport, nous pouvons la comparer ~L cello oii on trouvait un
point-solution i4 la rencontre d'une. droite et d'une quartique.
On conQoit quo dans l'un et lFautre cas la perfection plus 0o1
momns accomplie du dessin entre on jou.
Note. - Nous perfectionnorons ce proced6 graphique on
substituant id lun des deux lieux fondamentaux un lieu d6riv~
plus simple, mais auparavant attirons lFattention sur lo fait,suivant. Il n'est pas plus imparfait do dietorminer par points,
d'une mani~ro discontinue, une hyperbolo 6quilat~ro qu'uno.
droite. En effet, ii suffit do raisonnor sur los formos XY =a2,
Y. -_ aX ot, plus synth~tiquoment, sur Y Y:=X;on
-voit aussit~t quo los points rationnels (ii coordonn6os rationnolles) sont aussi nombreux et aussi commodos i~ construirod'un ct6 quo do l'autre. Le trac6 continu, fait ih, main lev~e,
pr6sente dans los deux cas le me'me caracti~re do pr~cision