Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DOUZIEME SOLUTION 7

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xiile Solution
Mkthodologie. -- Nous sommes parvenus 4 d~couvrir les
deuxlijeux de P1 par la voie-analytique. Nous emploicrons..actuellement la voie geome'trique et nous ferons appel, entre
autres consid6rations, des notions connu~es d'homographie.
La recherche du premier lieu est imm6diate:consid6rer le
triangle OMN et la m~diane OP de 1'hypot~nuse, Qu Si 011 vent
le rectangle OMPIN et ab outir di 1'galit6 OP1 MN 1; le
cerele s'en d6duit. Celle du second n~cessite quelqiies rappels
10 Lorsqu Iune droite pivote autour d'un point fixe, cell
d~termine sur deux droites fixes (bases) deux divisions 'de
points homogra phiques.
20 Le lieu du point d'intersection des droites (ravons)
homologues de deux faisceaux homographiques (s~ries de
droites passant par un point fixe, le sommet du faisceau) est
une conique. La conique contient d'ailleurs les sommets des
deux faisceaux. Exceptionnellement, elle se dGcompose en deiix
droites, dont Pune est la- droite des sommets, quand cette
derni~re se correspond d ellc-me'me d'un faisceau a 1'autre.
Cela rappeIM, nous voyons que A\ pivotant autour de A determieSur 'Ox, Gy les divisions homographiques des points Al
et N; la relation corresp'ondante entre les abscisses
xy -a(x -y) - O
trad-uit une homographie particulie're dite involution (sym~trie
des 6l6ments x, 'y). Si par lvII et N nous mc-nons des parai1lies
respectivement A Gy et Ox, nous formons deux fa~isceaux
homographiques dont les sommets sont r jetds 4 l'infini (l'homographie de chaque faisceau pouvant s'6valuer sur une sdcante
fixe arbitraire, et en particulier sur l'axe coordounn qui'lui
correspond). Par consdquent, le point d'intersection P1L des
yayons homologues M\P,, NP1 ddcIrit une, conique contenant
les points a l'infini des axes, savoir une hyperbole 6quilatdre.
Cette courbe passe par 0 et Al rdpondant aL x y =0 et
x -- y - 2a, et possdde l'axe de symdtrie Ox' acause d u
caractdre involutif de la correspondance des rayons.
EXERCICES. -- 1.0 On sait que le rapport anharmonique de.quatre points d'une division 6galea le rapport des quatre points
homologues:justifier cette propriete avec les points i\' et N.
20 Mlontrer que le rapport anhlarmonique de quatre points Al