Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXIME PARTIE

du premier quadrant;Si on. a I1- 2a< 2, le cerele 'devient
tang~ent en A1 etette branche et, une solution double s',ajoute
aux deux. pr~c~dentes;si on a 1 > 2a\2, deux nouveaux,
jpoints-solution P1, Pj apparaissent.
Note critique. 2est avec intention que nous avons diclar6
intuitive la vu Le g~om~trique. qui nous a permis de fixer le
nombre des points-solution. Apportons maintenant, gri~e- au
secours de I'analyse, plus de rigueur dans nos conclusions.
D'abord on sait que' deux coniques out en commun quatre
points, rc~es ou non, et quatre seulement (par exemple en
recherchant le degr6' du r6sultant en y de deux trinomes en x,r
sIen 1x ) jy figurant les premiers membres des
equations de ces coniques). Ensuite Ox' servant d'axe de
sym6trie commun aux. lienx du second degr6 qui inter-viennent,
leurs points de rencontre s'associeut deux par deux symat~ri-'
quement. Dans l'hypoth~se I > 2av'2, aucun doute n'est
permis:le cerele coupe- s~par~rnent chacune des brancbes
hyperboliques et ce ne pent e'tre qu'en deux points po ur Ft'une
et deux points pour l'autre. LUhypoth~se I < 2a\/2 provoque
quelque doute: aura-t-on deux points d'intersection ou quatrce
Trauchons la difficultU de la faeon suivaute. Si I'on niontre
que la distance OP', P1 6tant mromentan~ment le point cou -
rant de la demi-branche plaec6e daus le quadrant x1Oy, -vanie
d'nne mani6re continue quand PK vient par exemple du point
fl l'infiui jusqu'au sommet 0, il n'existera pas quatre points
d'intersection, car deux d'entre eux, sur cette demi-branchie,
seraient disormais fL la m~me distance de 0, et, cela est, impossible. G'est donc deux points d'intersectiou q~hi existeront.
Pour 6tudier OPpenuKo carr6, x2 0 y2 oiX, y sont
reli~s par la relation' xy - a(x +y);mais justement nous
avons 6,tudi6. plus haut ee-tte expression en taut que fouction
de x sons la d6signation de a2z on 12 et constat6 que z7 d~croissait
constamment de l'infini fl z6ro quand x croissait de - cc fl 0.
Nos conclusions en d~coulent en toute rigucur.
ExERCICES. ' 10 Comment vanie OP., P1 dic'~rivant la
demi-branche du premier quadrant, an-dessus de Ox'?
20 Examiner les distances OP', OP1 6valu~es an moyen des
coordonu6es de Pl ou P1 relatives 4 x'Oy'.
30L'expressiou y p2 peut-elle s'6udier directerment.,
sur x2 et y2, s'il s'agit de P1? De me'me, s'il s'agit des deux
points rapport~s a x'Oy'?