Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIXIkIME SOLUTIONi6

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xe Solution
Mkthodologie. -Comme x et y j ounet le me'me ro'le et entrent
symi~triquemeut dans un syste'me de deux 6quations, il est
naturel de preudre pour inconnues les deux foauctions symetriques 616mentaires x ~ y, xy, qui, une fois calcule'es, permettront d'obtenir isol~ment x, y en taut que racines de 1'6quation classiquie e n X, aL savoir X- - sX p =0, oii s et p
d~signeut x -1 y et xy..Le m~canisme essentiel dun calcui
consistera a transformer les formes sym~triques du sy~te'me de
manie're qu'elles ne d6pendent plus ratiounellemeut que de s
et do P.
Partons du sysbmie xy a(x + y), X2 + y2 - 12;
il devient p as, 82 - 72p 12,
et finalemeut 2 - 2as- 12 0,
p as.
L'6quation quadratique en s poss~de deux racines r~elles et
do sigues coutraires, il y correspond des valeurs r~elles et do
sigues coutraires pour p.
s -v ~V2~4p
Pour caiculer x, y. an moyen des expressions I
avec e -v 7 et obtenir des nombres r~els, il f andra discuter
le discriminaut f2-/p. Ce discriminant est nmanifestemont
positif si l'on proud la racine. negative en s, c'est-Adire a - Va2 + 12,1 et doja on pout en conclure l'existence dO
doux droites-solution.' Leur position so d~dnit aussito't do ce
fait quo p 6taut u~gatif, les incounnoes x et -y sout do siguos
coutraires. Ainsi los segments M"N, M"N", plac~s sym~triquos
par rapporta G A gra'ce A 1'6chango possible do GM",7 ON" et
do ON"', GM"', existent sans condition do grandeur outre a et 1.
Mais Si l'on proud la racino positive en s, c'est-h-dire
a -+ Va2 + 12, la r~alit6 des 'solutions exigo quo 1'on ait
- 4as > 0, ou sim -plement s > 4a. Rempla~ous s par son
expression irrationiiollo, ilvota4 a 2>4,o
V~a2 -- 12> 3a et, apr~s 61lv'ation an carr6, 12 > 8a 2.
Par snite, Si 12 K 8a2,I il n'y a qne doux solntions an problame; Si 12 > 8a2, il y anra quatre, solutions, los deux uouv~eanx
segments MN, M'N' so distribuant sym~triquement dans le
premier quadrant, vn quo x et y sout d~s lors positifs;si