Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

55

d~sormais hoin'oge'nes en a, 1, L de degr6s respectifs I et 4.
Elles conservent leur forme quand ces trois quantit~s varient
proportionnellement,. le-urs rapports r, R restant constants.
Cette invariabilitd de relation, nous la signalerons 6galement
propos des 6quations principales (El), (E,,), (E3), (E4) qii
1a
d6pendent du seul param~tre - ou -Par exemple, (E1) peut se
f ormuler a2M4- 2a2m3 -H- (2a2 - 12)M2 2a2rn -H~ a2 - 0.
Vloici l'explication de ce fait.. Ii est comprehensible qu'en
amplifiant ou en r~duisant les dimensions de la figure dans un
rapport quelconque, on mieux en effectuant une homoth6tie
de centre 0 et de rapport arbitraire, les directions des droites
de la figure ne changent pas. Par suite in, in, t, it, fc c' 0, 0'
r~estent les me'mes, les 6quations qui les d~terminent dgalemcnt,
quand a et 1 varient proportionneliement. Ii n'en ira plus ainsi
ult6rieurement lorsque nous choisirons pour inconnues des
longueurs, des coordonn~es de points,... Pour l'instant, bornonsnous a indiquer une fois pour toutes qu'il est natuirel de fix'er A,
donc a, et de faire varier la longucur de MN, donc 1, titre de
param~tre de discussion.
X. - Les cas singuliers de position de, A 'ou de longueur
pour MN m~ritent d'6tre trait~s a part. Si a et 1 tendent simultan(~ment vers z6ro, deux circonstances Se' pr6sentent. 10 Le
rapport - conserve tine valeur bien d~terminf,'e r (sa. vraic
a
valeur,7 selon l'expression consacr~e); les diverses 6quations
rosolvantes subsistent sans changement; les diff~rents points
A, M, N, P, M', N', P.',... coincident en 0, mais les droites. A,
8, A' 8'... out, des directions respectives d&Lermin6es, qui se
particularisent lorsque tn2 -8. 20 Le rapport garde sa forme
illusoirec- sans prendre une valeur limnite d~termin~e:l'ind6 -0
termination se reporte sur les droites de Pappus et au pr~alable
sur les r6solvantes. Si a seul tend vers ze'ro, 1'6quation r~ciproque 1homog~ne en a, I se r6duit a 1m2 0 montrant, en
dehors de la racine double infinie so us -entendue, la racine double
z6ro les segmnents MN, au nombre do quatre, sont port~s par
a
xOx, yi0y ah partir, de 0. Si 1 tend vers l'infini, cest-fl'-direI I I~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
vers z6ro,7 on retrouve g12 — 0 et m2 c.Si 1 seul tend vers