Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

D-0

I
PREMIERE PARTIE

Le calcul a mis en 6vidence le facteur R2r2 et l'on voit d'autre
part que la relation trouv~ie se vWrifie pour R2 - r2= 0.
L'explication de ce fait soul~ve quelque difficult_ En effet,
dire que R2 6gale r, c'est indiquer que A' et D font partie,
d'un me'me groupe.et nous savons que deux segments de Pappus
r~els de lo'ngueur finie ne peuvent' etre rectangulaires mais
aj outer que la valeur commune est z6ro, c'est tomber dans Ie
domaine des imaginaires,.puisqu'a r2 0, on 12- 0, correspondent les droites isotropes passant par A (en outre de la
droite double OGA) et que chaque droitce isotrope est perpendiculaire sur elle-me'me. Ila condition (R)". embrasse donc ce
cas singulier.
AMontrons incidemment qu'elle renferme un autre cas, pr6 -sentant une, singularity d'ordre, diff6rent, celui ohi RI et r~2
deviennent infinis en me'me tenips, en tendant l'un vers l'autre.
En eff et, suivons la variation continue de R2 sous l'influence
de r2 et regardons tourner simultan6ment A" et D dans le
sens des aiguilles d'une montre. Ecrivons
r2 r2 r' r2'
Qun 2 tend vers l'infini, ii en est de m'me de R, qui tend
en outre vers r2. Les, droites tendent a se placer parall~ies
aOx, 0y, rectangulairement etafaire parties d'un seul groupe
dans lequel elles deviennent respectivement doubles.
EXERCICE. - RWunir ces detix cas remarquables en un seul
(en supposant que dans la relation du 4e degrd en R les parametres r2, R2 tendent. l'un vers l'autre).
Ce nouveau procMd6, tout comine l'ancien, a l'inconvenient.
de faire intervenir des radicaux. Voici une m6thode de calculs
rationnels (1) base'e sur l'emploi du r~sultant. Rappelons
brie'vement, auparavant, que la condition n6cessaire et suffisante pour que deux trinomes ax2 bx ~ c, a'x + b'x - c'
aient une racine commune, finie ou infinie, se traduit en annulant leur resultant
(ac' e a' )2 -(ab' - ba') (bc' - cb').
Nous avons dit que s mn ~ racine positive de cp (s) et se

(1) On pourra constater notre souci constant de pr~frer les procdd6s ofii
les caleuls sont dits rationnels (sans. radicaux). Au moment voulu, nous
irmaginerons la ((m6thode d'implicitation )).