Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

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2 2 2~~IRESON4
r2 8 R 2 0 (en partant de r 2 48), etc. A chaque fois on
partirait d'un carr6 impair plus 6lev6 pour 1 -1 — r2, mais on
aboutirait in~vitablement a~ z~ro pour R 2. De m'eme, on pourrait
partir do I +j r2 16 on I + r 2 36 ou 64, etc. Quoi qu'il
en soit, ia formule en question ne pent servir que si r2 ~ ()
N i1. - Nous' retrouveron's dans la suite la relation (R)"
- ontre autres, propos du th~or~me de Fr~gier appliqu6
1'hyperbole 6quilat~re et A in strophoide, droite - aussi convient-il (10 l'obtenir directement et non plus par &lMvations au
carre de (R) on de (R)'. Du reste une fois la premi~re obtenueI
los deux derni~res relations s'en d~duisent en r~solvant par
rapport at R 2 l'qnation bicarr~e qu'elle constitue, puis en
formant I1 -1-'- R2 et en constatant que, cette somme, represente
lo carr6 d'nne, expression oii entre l'irration-nelle \/i r2.
A l-eur 6gard on traitera 1'exercice suivant:
EXERCICE. -Diff6rencier (R) de (Rl)' en tenant compte de
la figure: on montrera que 1'on a R > r A l'aide des deux
triangles rectangles semblables Op-v, ON'AM" et du quadrilat~re
inscriptible O1tiAN'.
Obtenons d~s lors (R)". Partons, par exemple,. de l'expression
s yith~tique Mn'2 relative A A' 6.valu~e sons la f orme I -cos 2 _c'.
I ~Cos2occ"
asav\.oir ~2-2i+rConcernant la perpendiculaire D,
1,2- 2 -v 2V1 + r 2____
lo carr6 du coefficient angulaire sora
R2 - 2 - 2V1l -H~- R 2
Exprimons quo lo produit do ces carr6s vaut l'unit6, ii
6eindrol)
(r2 ~2 -2\/1,r 2) (R2 +2 + 2v' -- R2,)
(1,2 - 2 2V1l ~ r2) (R 2 -2 - 2\/1 + R 2)
on R 2 1, R 2VI -+r 2 + R 2
on R 2r2(R2.2 2 H- R2 ~'1 + r2) ~0,
on (R)" (R2 -r2)2 - 8(R 2 + r 2).
(1) Sinon on tomiberait sur des valeurs imaginaires de r et par suite de I
ainsi pour r2 ==0, on a R2 =0 et d~sormais le calcul s'arr~te; pour r2 = 3
OU I1+ P 4, on aR2 --- —1;pourrP2 -—, on aR2 == 3etUs lors les
valeurs 3, -, puis - 1, 3 reviennent p6riodiquement.
MAROGER. -Probi. de Pappus. 4