Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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PREMIERE PARTIE

doubles des inverses des nombres impairs (sauf l'unite) quand
on y remplace 1 --- r2 par la suite des carres pairs.
EXERCICE. - Rapprocher ces th6oremes des precedents
(d'enonce analogue) et fournir un enonce general dans ies deux
1.'1 222
cas: la suite 1,,... sera ecrite -,,
2 2 4' 6'
Plus generalement, partons d'une droite A" relative a une
valeur quelconque de /.2, soit D sa perpendiculaire relative
a R2 obtenue avec (R), prenons pour r2 la valeur qu'on vient
de trouver, calculons a nouveau R2, etc. On obtiendra, a partir
d'une valeur disormais fixse de r2, des valeurs de R2 echelonnoees suivant les formules R2 = r2 +- 4 - 4V\1 + r2,
R = r2 + 8 + 4\1 + r2 A 4\-r2 + 5 + 4\-l - r2
R2 = r2 2 12 + 4V/. - r2 4-\//r-2 + 5 + 4\/1 - r2
+ 4\/r2 r 9 +- 4\/l I- r2 + 4\/ 12 + 5 4\/1 + r2,
R2.= r2- 16 + 4, 1 + /l2 + 4V/1.2 -- 4 + 4 I r+
+ 4V/r2 1- 9 + 41 -- r2 1 - 4\/r2 r 5 4-4V1 -+ r2
+- 4\/r2 + 13 + 4V1 + r2 - 4\//r2 5 + 4v' + 4 2 4,
/r I r~: l '\ i 5 - 4
ou \/r2 +- 9 + 4\/ - r2 4- r2 4 5 +4 4V1 r2,...
Les expressions successives se compliquent de plus en plus
et les radicaux se superposent: radical simple pour la premiire,
double pour la deuxieme, triple pour la troisieme, etc. La
particularite curieuse de ces longs radicaux r6side en ceci
qu'ils se r6duisent par echelons lorsqu'on y tente les substitutions num6riques 1 - r2 = 1 et 1 + r2 4.
EXERCICES. - 1~ Substituer 1 + r2 -9, 16, 25,...
20 Former la cinquieme expression Rj.
30 Etablir les differentes formes de sin 2cx.
Si dans la relation (R)', conjuguee de (R), que nous avions
laissee de cote, nous voulions expliciter R2, on trouverait
R2 r2 + 4 - 4 \/1 r2, et les calculs num6riques conduiraient de proche en proche aux r6sultats: r2 8, R2 0
(en partant de r2 = 8); r2 = 24, R2 =-8, r2 -=8, R2 =0
(en partant de r2 =24); r2 - 48, R2 24, r2 = 24, R2 = 8,