Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

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cotes respectifs a/2, aV6. Du reste Or, vaut v - a/24 et
2 2
on retrouve aV6. Quant a la longueur des segments de Pappus
M"N", MW'tN", elle est a\8 = 2a\/2, c'est-Ai-dire 20A. Ce
resultat simple, nous le mettrons sous la forme d'un theormme
relatif au triangle 6quilateral.
Theor6me. Etant donlze un triangle equilateral, les droites
rectangulaires issues du centre et equidistantes d'un sommet,
decoapent sur les droites portant les c6tes qui aboutissent a ce
sommet deux segments egaux au diamktre du triangle.
EXERCICES. - 1~ Calculer OM", ON" a l'aide de
/1 \1- _ sin 2 - V -+ /i- sin 2 c
M"N" cos a _ a= - -t.* -— sin- 2
2
MI"N sin a/ -- sin 2 -VI-sin 2 o
2MNsin a
(au prealable on aura justifi6 les expressions donn6es de cos a,.
sin a). Montrer que les expressions d6finitives des longueurs
en fonction de l'entier n ne renferment plus qu'un radical.
2~ Calculer cette fois OM", ON" au moyen des valeurs.
a
a - -, a - am.
in
VI. - Poursuivons les considerations qui se terminent parl
d'autres du meme genre. Partons de 1 + r2 4 ou de r2 = 3
et non plus de 1 -- r2 1 ou de r2 = 0, les applications
successives de la formule (R), oi R2 est explicite, donneront
maintenant r2 3, R2 15; r2 15, R2 =35; r2 =35,
R2 3 63; r2 = 63 R2 99; r2 = 99, R2 -143, etc.
Apres extension r6currente on 6noncera:
Th(eoreme. -.L'xpression r2 + 5 - 4\/1 - r2 fournit la
serie des carres des nombres pairs consecutifs, sauf le carre de 2,
tquand on y reinplace successivement i1 r2 par atn carre dMei
forme, en commenz1ant par 4.
8 2222 2
Parallelement, sin 2_ = R2 2 donnera -, 5 7 9- 11.
D'ou,
2
Thteoreme. -- L'expression - i + fournit la serie des
I + VI +-$ r2i