Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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46 ~~~PREMIERE PARTIE

Th~ore'me* L'ex pression + w.'. r2 ournit la se'rie des
inverses des noinbres entiers quand on y remplace 1 -4- r2 par la
suite des carr~s impairs.
Examinons plus attentivement la figure. Une sorte de rotation discontinue d'un angle droit, le sens e'tant celui des aiguilles
d'une montre, pent e'tre observ6 sa premiere position est
constitute par Ox', telle'- quo r2 0, et par AM0 telle quo,
R 2 8; sa deuxiime est constitue'e par A', telle que r2 8
et par D, telle que R2 =24; sa troisi~me par v" ffV" telle que
-1 24, et par la droite non d~sign6e, telle que R2 48, etc.
Quel est l'angle de rotation arrenant A" sur sa position voisine,
ici v.' v', et en ine'me temp's D sur sa position voisine? Si l'on
part do Ox', I'angle est, en valeur absolue, 450 - 150 300;
Si l'on part do A"/, 17angle est t50~~3 en posant sin 2( ==son double aura pour sinus;- (V' /38 si l'on part do K.' V",
l'angle est (-y. on posant sin 2y Son double aura pour
sinus -2 (V1-5 -V8~), etc. Un. raisonnernent par recurrence
conduit ~ 6noncer
The'or~me. -L'expression V1 ~1) -I V-
n (n + 1)for
nit le sinus du double de V angle form6 par deux droites conskcutives A" de la figure.
Si on regarde D et 8"', ces droites sont paralle'les, et cola
quelle, que soit la figure. En effot, D est perpend-iculairo A~ A",
inais un th6ore'me pr6c~dent nous a appris quo l'associko 8"'
do A"' est pe~rpendiculaire, i A", done D et 8"' sont paral-le'es.
ExERCICE. -D~montrer quo O7- assock~e do D of A"' sont
paralle'les quel quo soit ac, soit on invoquant le th6or~mo qui
vient do servir, soit en utilisant la proposition ci-dessus ot utine.sym6trie do directions.
Enfin, la droit e particulie're A", portant M"N, fa'isant un
angle do '150 avec Ox, fera un angle do 300 avec GA, et GA fera
ar son; tour 300 avec A"', qui porte M"N"'. Do plus, AP' -= AP"'.
Done APTP' est un triangle 6quilat~ral do rayon GA 0/21
ofdo cot6 aV6. La figure O7~cAP"' est un parallklogranmoe do,