Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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PREMIERE PARTIE

On calculera c par les 6galit6s
2 2 2
sin 2 a-
s 1 +4 V1 + r2 1 + \/+ R2
_4 8
~/ + R2 -Vi +~r2 2 r2'
I.a condition se v6rifie pour r2 -- 8, R2 24 - la particularite remarquee est ainsi rattach6e h une question de caractere gen6ral — et a = 15~.
Remarquons que cette question se d6double, en quelque
sorte, si l'on change l'ordre des droites int6ress6es; en d'autres
termes, si on remplacait A", D par A, D", les racines se formuleraient 1 - Vl + r2, 1 +- V + R2 et (R) prendrait la
forme conjugu6e (R)' \/1 + r2 - /1 -- R2 = 2.
Pour r2 - 8 on en tirerait R2 = 0; sur la figure A coincide
avec MlNo et D" avec Ox'. L'angle homologue de 2 a aurait
8
pour sinus
1,2 RI2'
Si l'on prend r2 -- 24, (R) fournit R2 48; p",v" voisin
de M"N" a pour longueur uL, c'est-a-direaV/24, et fait un angle
droit avec le segment de longueur a\/48 voisin de tiv, sans
designation speciale sur le dessin. Au contraire (R)' fournirait
R2 - 8.
Si l'on voulait condenser les deux formes (R), (R)' en une
seule, moins precise cependant, on obtiendrait apres calculs
(R)" (2 2- 2)2 = 8(R2 -r 2)
relation symetrique en R2 et r2.
En l'ordonnant par rapport a R2, ce qui suppose r2 connu,
on aurait
(R) R4 - 2(r2 + 4)R2 + r2(r2 _ 8) = 0.
Constatons en passant la persistance du facteur I -+ 2, se
ramenant a i -i — dans le discriminant de cette 6quation, qui,
resolue, donne lieu a
(R)IV R2.2 - 4 ~ 4V +V,2
EXERCICE. -] Etudier l'6quivalence entre (R)1v et l'ensemble
(R), (R)' en formant /1 -- R2.