Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

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Egalons la deuxieme et la quatrieme expression; une fois
modifi6es, il vient
2r2 -4-4 /4 V+ r2- 2 V/2 - 8 V\r2 + 4- 4 \/ + r2
-12 -- 4 V'+t r2
2r2 -2 V\r4 - 4r2 8 88 t- r2
-4 \/4t +-r2
ou \/r2 8 (vi + -2 1) /r +4-4 /1 + r-= (/+I r2 - 3) \4 41r- 2 8+ \/1 + 2,
et on trouve
r6 - 6r-4 96r2 - 128 2 (34- 16r2 64) Vl + r2
dans les deux membres.
L'identit6 de la troisieme expression et de la quatrieme
modifi6e (celle qu on vient de produire) saute aux yeux.
EXERCICES. - 1o Traiter les trois autres 6galit6s.
20 Justifier que les divers polynomes en r2, a la fin des calculs,
sont divisibles par r2 - 8.
Poursuivons a propos de m', toujours dans les memes conditions que pour m.
Sa premiere forme, tir6e de (E2), est
-' —V ---i —n ----!
/r2+ 4- 41t+ r2
\|i~l -- r 1'2 - 8 '
Sa deuxieme forme, tir6e de (E1) et de m' - est
-1 + V1 +2 - \ r2 - 2 + 2\/1 + r2
Inm ==m —,t
3 + /t + r2 r2 -- 2 + 2\/1 +- r2
Sa troisieme forme, tir6e de l'6quation en cos 2.' et de
1 -c cos 2 / + 2 - 21 + r2
m2 c — 2o est im =n --
1 + cos 2 ' V - 2 + 2\/1 +r2
Sa quatri6me forme, tir6e de l'Nquation en sin 2 o, de
2m m - 1
sin 2 = et de m' --
1.+ m2 mn + 1
r2 + 2 - 2-/1 -+ r2 - /r4 -4r2 -8 + 8V\ + 1r2
est m
r2 - 2' 1 21 i r2 - r4 42 - 8 -- 8\/ r2