Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

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et un produit 6gaux on oppos6s lorsque I vaut a, sous la r~serve
de deux valeurs imaginaires en 0.
La deuxbim'e (E3)' n'apprend rell de nouveau, car la somrnme
constante des. inverses de ses racines fait retomnber sur la
constanee de s' +-s". Me'me constatation avec (E4) -La forme
(E4)' est plus significative:pour 1 - 2a'2, les cosinus de 0'
et de son double 20' s'6,galent on s'opposent. Pour 1 =a\/2
nons enoncerons
The'or~ine. - Si' la ion guear dla segment de Pappats deoient
-~gale d GA, le cosinas de l'angle de la droite associ~e 8 avec GA
se double en me'me temps qae l'angle (en changeant ou non de
signe).
On rapprochera ce theorerme du pr~c~dent.
La presence de l'angle double 2oc on de 20, dans l'tnde
analytique que nons avons faite, nous amn~ne Al d~eonvrir un
pareil angle sur la figure, puis ih essayer un proe~d6 synth~tique
de mise en 6quation. On y voit sans peine 20, ext~rieur en P
an triangle isocele GP.M, -et, marqu6 de deux flehes, 2cc, son
homologne voulons-nous dire, exterieur en PI, fL GP"IM" plus
prkcis6mnent l'angie orient6 de A et de 8 vaut 20, mais celui
de A" et 8" est -2cc. D'aillenrs on a Aa A + x 8 + 2/n-c
d'oic A,1 o -i- 0 -d- 21kc-, prenant soit la f orme 20 +- 2kn-,
soi't la forme -2cc ~j 2/k~c.
Ii est naturel, dks lors, de mettre d profit le triangle GAP,
o~i entre la valeur absolue de cet angle on de son suppl6ment.
Et cela d'antant mieux que ce triangle r~alise une sorte de
syntlikse (1) des donn~es du probbme: en eff et, GA y vant a\F2
et OP v vaut -.Ecrivons la relation des sinus
2
GA OP GP GP
sin 2 0 sin GAP sin (AGM + G-MA) si
d'oii -sin 0CosO 0 zsin 0 -tcos 0.
a
De rnbme, le triangle GAP" fournit
GA Op"f si P"f Op___
sin 2c/. sin GAP" i (AGM — GM`A) -
()Voir ((analytisme et synth~tisme ") dans La Science die raisonnement.
MAROGER. - Probi. de Pappus.