Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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30 ~~~PREMIERE PARTIE

DIGRESSION
Nous pr6senterons sous ce titre, en temps opportun, une s~rio
de d6veloppements varies, le plus souvent de ciaracte're m~thodologique.
I. - Si nous portons une premi~re vue d'ensemble sur les
6quations bicarr~e et r~ciproque, intervenues dans les quatre
solutions traite'es, nous voyons se d~gager divers proc6d6s
r6solutifs. Les r6solvantes quadratiques s' obtfiennent d' abord en
In
inconnues, autrement dit des fonctions invariantes des racines
accoupl6es in', -in' et ml, -. Cette invariance nous expliquc
incidemment l'abaissement du le degr6 au 2e degr6, puisque ~L
deux racines distinctes de 1'6quation biquadratique ne correspondra plus qu'une racine de la r6solvante. Ensuite, la
premiere peut se r6soudre au moyen de la transformation homograpique12 -I - cos 2 ac 1'
graphque n'2 + Co 2,clen rn' et cos 2 a~', tandis qu'on
peut employer pour la deuxie'me la transformation, 6galement
2 '
homographique, s 2 j7 -en s in +-et sin 2 oc. Dans les
deux cas, l'inconnue fondamentale ml' ou in subit la transformation trigonom6trique directe m' tg a~' on m tg oc,
et l'inconnue auxiliaire la transformation inverse oxc'= arc tg ml'
ou oc arc tg mn.
Remarquons maintenant un nouveau procWd r6solutif. On
passra e (2) A (E1) et r~ciproquement par la transformation
homographique que procure la relation in -- mln' I A- minn.
Les quatre valeurs de in, par~ exemple, une fois calculdes,
serviront A calculer quatre valeurs de in', grAce ~ la formule
in I
in' -~ ~inversemnlorsque (E) sera r~solue, on r~sou'I+ in'
dra (El) avec la formule mn -~ En particulie, Si in -'
mn' vaudral'infini; si in' - t on a in -oo; si mn - I on a
in' - 0O sumi' = — 1,invaut z~ro'.