Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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380 ~~~QUATRIEME PARTIE

La dernie're valeur sera R c — o traduite par 'a 0 et 12
quelconque...On fera la v~rification rapide de I'~gaIit6 envisag~e comme
tine proportion de quatre termes dont deux sont nuls.
Note' critique. -La reconnaissance du de'gre apparent. du
polynome en r dont nous venons de parler presente i'inconVinien't de nous rejeter stir le proc'd6 ordinaire de d~monstration d'une, 6gafit6 litt6rale irration'nelle. On se, souvient en:
efflet que, ce, proced6 consiste i~ e'ever an carr6, an cube,... leg
m~embres de la 'relation apris. avoir isoMi de pr6f6rence dans un,
membre tin seul radical. C.'est ce que nous avons~ tacitement,
entrepris avant de conclure que le degr6 6tait 8. Si on vent 6viteir
un pareil inconvenient, on fera tin assez g rand nombre de v~rifications num6riques, qu'on estimera devoir atteindre an momsg
nit- 1. On inettra en jeu. i~ cette occasion les diverses valeurs
rationnelles de a, 1 qui ont servi s6par6ment aux r6dtictions
de Va 2 + 12 et de V12 - a2
En rvanhe, otr mrnthode s'adapte avantageusement
certains cas de calcul mental. Prenons pour terminer l'exemple
traditionnel de vWrification des racines d'une equation du second,
degr6.
Ecrivons x2 b -- 0. Posons b ~ A C- - ]32'
-Rcrions a a 2a a.
de manikre A f ormuler le s racines par x A + 2:VA2 ~ 1B2'!Nous devons v6rifier la double 6galiti irrationnelle
(A +v s VA2 +B2) 2 -2A(A +~ z V') -B2 =0.
Le choix des valeurs num~riques est abo ndant. Voici les essais:
20oA2I1 B2-~0 d'ois 0 -0 0ou 4-4 0,suivant
le signe de e.
3b A2 0, B2 - 1 d'oti I- I 0.
40- A = 4, B =3, d'oii (3 + s) 6(3 - 5s) -16 =0O"
50 A 3, B 4, etc...
Tou~ ces calculs doivent Utre faits mentalement.
EXCERCICES. - to0 Se rendre co mpte que trois essais suiiilh
B 2
raient (le degr6. dti pol ynome en )2serait 2).
20 Ecarter les valeurs imaginaires et obtenir la formule
r6solutive, x ~-A -i~VA2 - B2