Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION FINALE

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On sait qu'un polynome entier 1(x) de degr6 apparent n so
r6duit identiquement a z6ro quand- ii s'annule pour e- i)
valeurs de x au moins, nunm~riques ou litte'rales, r~elles ou
imaginaire's. Si les coefficients de 1sont num~riques, ces valeurs
de vkrifcation. sont num6riques;si les coefficients sont r6ets,
A toute racine imagina,,ire est associke la. racine imaginairo
conjugue'e; si les coefficients sont rationnels, a toute racine
incommensurable r~elle o~ —V~est associ~e la racine incommensurable conjugukec - ~ Ccci rappehM, raisonnons sur
l'exemple de la note V. Imaginons, les radicaux. et les d6nominateurs une fois chass6s et les terines kcrits dans un sent membre,
quo to degr6 en - on r ait, Wt reconnu do prime abord 6gai aL 8.
Comine do pius les termes seront do degr6 pair, on aura Aflaire
A un polynoino du quatri~me degr6 en r2 -IR. II sera identique,
A zero si on pout l'annul'er pour cinq valeurs nume'riques donn~es
A R. Enfin to polynome s'annule d~s quo 1'6,galit6 irrationnelle
initiate so v~rifie ot r~ciproquoment. On en conclut quo t'gatit6
en question sera une identit6 litt~rale en r et mioux on a, 1,
si l'on pout trouver cinq valeurs nume'riques do Rt qui la satisf out.
La premiere valour choisie sera R 8. La valour correspondante du second membre est - I, aperQ'ue imlnediatomont;
cello du premier membre so calculera en faisant a - 1,1
et -en const~atant quo to radical double s'y annuto.
La deuxie'me valour choisie sera R -. Los calcuts de
v~rification seront (I - i0~
9i'2++6 iW3 -l-4- i\
on 2 j-23 - 2
La troisi~me valour choisie sera R 24, i mpos~e du reste.par cc fait quo ~Va2+2 et Vi- 8a2 so r6duisent ak 5 et 4
pour a =_1, 12:-24. On aura
+ V48 _ __
12 7, o 2 +-V73 -- \/48 V3
La quatri~mo valour choisie scra R 0. On vWrifio par. les
ealculs
1(V4) V-8~V8 OUiV -, ou