Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QLUATRIEME SOLUTION 2

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7Z ~~~12
30 Pour 0' le rapport -est-il num6riquement rationnel?
8~~~~~1
Note. -Ii e'xiste d'autres moyens de mettre le proble'me
en 6quation. En voici un qui nous conduira,~ une, double
rdsolvante qu' on saura traiter directement.
Remarquons dans ce but que x GM et y ON sont les
e oordonn6es de P1 et' iniux les projections Sur Ox, Gy dus
vecteur OP1 situ6 Sur 8. Dans trois cas OP, - 1, mass
pour 81 on a OP' 1. Si no'us proj etons ce vecteur Sur Ox',
Oy', on aura, tanto't x' +1cos 0', y' Iv sin 0', tanbto'
-1cos 0', y' — 1 sin 0'. D'ailleurs, 0 P1, diagonale
de rectangle OMP1, apparailt comme, la r~sultante de GM,
ON, et le th~or~me des projections nous donne
zzx Cos (x') '- OS (X',y) (x ~y) COS
y, zzl Cos (y',x) +y Cos (y',y) Z-X Cos y COS,
Reprenons la relation g~n~rale. du d~but de la 3" solution
xy -a (x ~~ y).
Nous constatons que x y pent. s'y remplacer en bloc
p~ar x'~/2. Nous d~gagerons xy, soit en calculant s~par~ment x
et y, soit en formant la combinaisonX'2 -y'1, qui vaut. 2xy.
La relation g~n~rale X'2 -y12 =- 2aV2' x' en r~sulte. Nous en
d6duirons la double 6qnation annonc6e,
(E ~~~~~I- -_- cos 2 0' cos 0'.
2V2
Son 6l1dvation an carr6- prodnirait justement (E4). R6ciproquement, si lFon 6crit cette derni~re
co2 S2 0'1 +Cos 2, 0' = 2 cos2 0', on en tirerait (E4)'.
R~solvons directement l`6quation r6pondant an signe
par exemple.
On liii donne la -forrne ~ o20 o '0.
a\/2 2a\/2

(I) Ces formules du changement de coordonn6es trouvent un emploi,constant par la suite.