Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

376 QUATRIEME PARTIE
Exprimons maintenant a posteriori que P sert de milieu a MN.
a(y - x) a(x - y)
Onaura a )a a(x =, ) Gardons-nous de croire
2(y a' - 2(x a)
que nous avons digage de la sorte les lieux cherchs: nous
avons seulement l'hyperbole xy - (x - y).
Est-ce a penser que le lieu (1) condense le cercle adjoint a un
lieu parasite: cercle isotrope x2 + y2) (x a)2 - (y - a)2, o
le cercle en question lui-meme qui se serait double? Ne prejugeons rien d'avance, Prenons A comme origine provisoire et
grace aux formules du changement de coordonn6es x =- x +a,
y == y + a, 6crivons an(x - y1)2 ( + 1 - ) 2,
ou a2(1 - y1)2 (X2 + y2) 12 x2y2
On reconnait d6sormais l'ensemble des droites de Pappus.
EXERCICES. - 1 D6gager le cerele dans l'expression (1).
20 Expliquer logiquement pourquoi on a obtenu de prime
abord le faisceau rectiligne des droites AM.
IX. Une resolution laissee en suspens. - Reprenons la
double equation ~- - sin 0 cos 0 = sin 0 + cos 0, que nous;
n'avons pas r6solue, a la IIIe solution, a l'aide de l'inconnue
auxiliaire = tg -. Une pareille transformation conduisait a
-4 -2(er + 1)T3 -- 2(er - 1) - -1 =0.
Si l'on fait alternativement E -t- 1 et E = - 1, on obtient
par la multiplication des polynomes en l'6quation synthetique
p(T) = 8 - 4-7 - 4(r2 - 1)6 - 4r5 _ 2(3 + 4r2)T4 + 4r3
- 4(r2 1)T2 - 4 i- 1= 0.
Comme on avait pos6 t = tg 0 et obtenu
f(t) =t4 + 2t3 + (2- r2)t2 + 2t + 1 = 0,
equation reciproque dont la resolution nous est familiere, on.
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saura en d6duire T par la formule t -- 2 et mieux par
N'equation auxiliaire tT2 + 2- - t - 0.