Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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374 ~~~QUATRIEME PARTIE

Si, an contraire, on a a < L, on examine i ~/L2 - a2 et
l'quation correspondante L 2 - a2 =?; i y a 6change entre
a et L.
EXERCICE. - Utiliser de pr~f6rence une hyperbole 6quilate're.
'R6duisons de me'me v'12 - 8a2 iVL 2- ~ a2 et, par suite,
VL2 -t- 8a. L'6quation auxiliaire L2 ~+ 8a2 se satisfait
pour a - 1,L z1,?13= z3. On utilisera une ellipse portant le
point simple a I,1 L -I ou, si on pr6f~re, a =0, L - 3.
ExERCICE. - A propos des coniques auxiliaires (cercie,
hyperbole, ellipse) mises sons forme param6trique, si on se
sert de deux points. de pivotement, les s6cantes mobiles. de
pentes respectives t, t1 constituent des faisceaux homographiques. On cherchera la relation homographique
Att1 -~- Bt + Ct, + D 0.
dans quelqnes cas.
VIiL Rationnalit, irrationnalitM. dams~ les 6qaatiotis. - La
plupart de nos equations,., du momns celles de premier plan,
posse'dent des coefficients litt~raux de nature rationnelle. Mais
df-'s qn'on a commenc6 a d~gager les inconnues doublement
irrationnelles, certaines 6quations, de second plan ont pr~sent6
un caracte're d'irrationnalit6. Exemples: 2- SM +- 1 0,
ofi s, racine d'une r~solvante rationnelle, d6penid d'un radical
litt~ral; 6quations respectives des cereles de centre- A, et
passant par deux points P1; etc.
A ce point de vue on envisagera les formides de r~solutionl
des diverses inconnues m x, xi, y,... comme des equations a
coefficients bi-irrationnels. Il ne s'agit pas ici de rappeler
l'unique 6qnation oft x figurait sons un radical et qu'on doit
appeler irrationnelle quelle que soit la nature des coefficients.
Signalons pluto't une circonstance ott l'irrationnalit6 des coefficients se manifeste profond~ment, c'est lorsque nous avons
d6fini le point-solution P1 comme appartenant a deux droites
do, forme g6n6rale alx a- bly ~ c1, 0. Attendu que les
formules de Cramer sont rationnelles par rapport aux six
coefficients int6ress~s a, b1,, c, a, b2,c2 il est n~cessaire pour
r6aliser l'irrationnaIt6 de x, y u e oefficients soient des
fonctions doublement irrationnelles de a et de 1.
EXERCICE. - JEcrire explicitement les formes des droites
P1 Pol P P'[ (revoir NW&ud de (P1)) et abaisser le degr6 d'irrationnalit6 en supposant 12- 8 aon2 2 carr6 parfait.