Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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372 ~~~QUATRIEME' PARTIE

Le discriminant commun a chaque parenthe'se
2(12 +d 4a2- ')
est positif, quatre racines r6elles existeront, a savoir
(:: V2(2- 4a2 + 1X e2V'2( + 4a2
L'emploi des doubles signes est surabondant; on peut 6viter
celni du d~nominateur en formulant d~s le d6but
(XIM'2 + C'1)2 - (12 + 4at2 + '?,'l)M'i2 0,
par simple d~plaeement de el, kchang6 en el, dans l a parenth~se
initiale.
EXERCICE. -- Justifier que el on s3' est inutile en 6crivant les
quatre valeurs des racines oppos6es deux aL deux.
M\ais ce proc~d6 sp6cial ne devient avantageux que si le
noinbre arithm~tique?X' est rationnel, c'est-a~-dire 12 8a
'ar afait. Sinon, les formules d~finitives comportent en
r6alit deux radicaux doubles litt~raux.
2e hypoth~se:12 - 8a 2 - 12 -0. On trouve ni ~ 4 c~o,
in' ~~ on m'. L'irrationnelle numerique
V36
r, 2 VF2 a provoqu6 une valeur enti~re pour un angle, 30g.
3e hyohs 12 -82 - (iX"I)2 < 0, hyohs i-S V-i1.
Les formu'les de resolution seront encore valuables, au sens
de la thorie des nombres iniaginaires. Pour la premi~re forme,
-I fournit les racines r~ell~es et s =- + I fournit les
racines imaginaires \ +2 4a2 + 4aV. Pour la deuxime'M
forme, en r6d-uisant+ le nombre des doubles signes, on.aura
- 1 (s 12 +42 -JX 2~[- " 1 -i~)
EXERCICE.- Montrer. que la combinaison c" + 1,
-HIprovoque une imaginaire pure -(on prendra le carr6
de la parenthe'se).
V. E~tude d'une 4galit6 H expretsions irrationnelles. — Nous
nous sornmes born6s aL krire de nombreuses 6galitc~s irrationnelles r~sultant des diff~rents modes de calcul de telle on telle.
inconnue sans les vWrifier directement, en d'autres termes,