Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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QUATRIEME PARTIE

rationnel tel A(- 5, 0); on obtient les 6quations param6triques de ce cercle a l'aide de la secante AM correspondant a
5(1 —t2) lOt
la forme 1 - t(a + 5), a savoir a = t2) I-t
1+-1 t2 q-t2'
on choisit pour t une valeur rationnelle et on calcule a, 1.
1
Exemples: o1 t, a =0,1 = 5; 2t, a 3, 1 4;
1 2 25 60
30 t, a 4, 1 3; 40t-, a —, =- ^
3' ' 3' 13 13'
EXERCICE. - Etudier la solution 25, 60, 65 de a2 + 12 = x2,
la r6duire et obtenir la representation
ta > param6trique de a2 - 12 = 169.
Traitons de meme l'6quation
12- 8a2 = X/2
La solution trouv6e a priori sera
I - 3, a =1, ' = 1.
Dessinons l'hyperbole oblique
12 2az -i
Fig. 43. - 8a I
portant A(1, 0). Grace a la secante
mobile AM, de forme a =t(l - ), on obtient
8 t2 -+ 1 2t
l -- a -— I
8t2 - 1 a 8t. i'
1 9 2
Exemples: 1~0 t -, 1- 3, a = 1. 2~ t =- 1, -, a-,
2' 7 7
d'ou l'on d6duit 1 - 9, a = 2, ' = 7. 3~ t -, 1 = 17, a 6,
provenant de - 17, a - 6.
EXERCICE. - Echanger les axes coordonn6s Ql, Qa.
III. Simultaneite de la reduction. - Peut-il arriver que
\/a2 - 1', /12 - 8a2 se r6duisent en meme temps a des valeurs
commensurables, c'est-a-dire que les equations a2 + 12 1 A2,
12 - 8a2 = X'2 se satisfassent a la fois par des valeurs entieres.
des parametres? Cela n'arrive jamais. En effet, la combinaison
-2 - )2 donnant.9a2, on saurait ecrire 9a2 + ~ 2 == X2.
Par suite, sous deux formes diff6rentes )2 serait la sorme de
deux carr6s. Mais toutes les solutions possibles de a, 1, en nombre
infini d'ailleurs, ont 6et obtenues avec la premi6re forme
d'6quation, on doit done les retrouver avec la deuxinme. Par