Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

368 QUATRIkME PARTIE
DIGRESSION FINALE
Nous placons sous ce titre un assez grand nombre de notes
de caracti~res divers se rapportant an prohk~me.
I. IrrationnalitM et rationnalUi littrales. - On a constat6
fr~quemment la pr~sence d'nn discriminant d'6qnation quadratiqne proportionnel aL a2 +- 12, de sorte que dn point de vue,
litt6ral 1'e'16ment irrationnel Va2 pj 12 a jon6 nn ro'le capital
dans nos discussions. Quand ce binome pythagorique a2 + 12
devient un carrO, X2, le degr6, d'irrationnalitO s'abaisse dans les,
expressions sonmises an calcul. Par exemple,. I'abscisse x' on
a + V'a2 + 12 a ~X
- ~~~du point-solution P1 se r~dnit a. Son
ordonn~c y' on V/2-2 2 -2aa 2
se f ormule 2a)~, a
et reste en g~n'eral irrationnelle, car le trinome placO sons le
radical ayant nn discriminant 16a2 diff 6rent de z~ro n'est pas
carr6 parfait:si, aL la lirnite, a tendait vers zero, on aurait
lxi = ' -, expressions rationnelles par rapport an
parane'tre 1.
a a
Dans le.cas particnlier ofi I vandra 2a, 3a,... on -, -,... on
g~n~ralement ka, k d~signant nne constante nnne'riqne, les
r~sultats se r~dnisent davantage. Ainsi, ponr 1 2a2 on
- 2a '6, On anra Va 6v1 gal ak 3a on aL 5a sans ancune
irrationnelle litt~rale on nnmeriqne. On calcnlera les coordonn~es x, y de P1, qni apparailtront proportionnelles au param~tre a.
Un. autre discrirninant, momns fr6qnent, a OtO 12 - 8a2.
Lorsqne ce binonme devient nn carr6, X' 2, les expressions
d~pendant directement de Vl2 8a2 se r~dnisent, par exemple
les pentes de P1P', P,_P' dn trape~ze (P,). D'antres subissent